深入研究高考电磁学问题研究

摘 要

随着高中物理新教材的使用以及新高考在全国的陆续施行，对高中物理教学而言，无论是教学内容还是教学形式都出现了许多新的课题。这就使得站在高观点下（即大学普通物理学角度）研究高中物理，不仅成为教学改革的迫切任务，也成为了新课程下物理教学改革的一个主流方向。

本文将以 2020 年高考全国甲卷第 21 题和 2020 年高考全国乙卷第 20 题为例，从大学电磁学视角分析高考电磁学的问题，旨在引导物理专业的师范生要认真学好专业课程，提高自身的物理素养，能站在高观点下审视高中物理的内容，解决教学中的疑难问题。另外，希望中学的一线教师，要终身学习，不断重温大学的物理课程，站在高观点下审视高中物理的内容，不断解决教学中的疑难问题，使自己的教学更具有针对性和创造性，不断地提高教育教学水平，向更高的层次迈进，促进学生核心素养的全面提升。

问题一 电磁滑杆问题

在研究电磁滑杆问题时，高中阶段所求解的内容往往是时间趋于无穷时的极限情况，即金属杆的最后状态。教师往往忽略了对中间过程的分析，忽视了对学生极限思维的培养。下面我们以 2020 年全国甲卷第 21 题为例，运用高等数学手段对金属框、导体棒运动情况的变化作全程分析。原题如下：

如图 1 所示，U 形光滑金属框 abcd 置于水平绝缘平台上，ab 和 dc 边平行，和 bc 边垂直。ab、dc 足够长，整个金属框电阻可忽略。一根具有一定电阻的导体棒 MN 置于金属框上，用水平恒力 F 向右拉动金属框，运动过程中，装置始终处于竖直向下的匀强磁场中，MN 与金属框保持良好接触，且与 bc 边保持平行。经过一段时间后

A．金属框的速度大小趋于恒定值

B．金属框的加速度大小趋于恒定值

C．导体棒所受安培力的大小趋于恒定值

D．导体棒到金属框 bc 边的距离趋于恒定值

定性分析：设 bc 边的长度为l，导体棒的电阻为 R。设金属框、导体棒的质量分别为 m1、m2，某时刻的速度分别为 v1、v2，加速度分别为 a1、a2。对金属框、导体棒，根据牛顿第二定律，有

感应电流为

感应电流从 0 开始增大，则 a1 从开始减小，a2 从 0 开始增大，加速度差为

感应电流从 0 开始增大，则加速度差减小，当差值等于 0 时，由式 (1) 和式 (2)，得

由式 (3) 和式 (4)，得

从而速度差为

此后金属框与导体棒的速度差维持不变，感应电流不变，导体棒受到的安培力不变，加速度不变。A 选项错误，B、C 选项正确。金属框与导体棒的速度差不变，但导体棒的速度小于金属框的速度，导体棒到金属框 bc 边的距离越来越大，D 选项错误。

高中阶段用定性分析解释，大部分学生是可以理解和接受的，但是从定量的角度似乎更有“说服力”，虽然定量计算超出了高中知识范围，不过作为教师，我们不仅要知其然，更要知其所以然。下面我们做定量研究，以起抛砖引玉之效。

定量研究：以金属框、导体棒组成的系统为研究对象，根据动量定理，有

则

两杆所受安培力大小均为

对导体棒，根据牛顿第二定律，有

由式 (9) 和式 (11) 得关于 v2 的微分方程

初始条件为

解微分方程，得

所以

加速度

从式 (16) 和式 (17) 我们可以看出，金属框做加速度减小的加速运动，导体棒做加速度增大的加速运动。当时间 t→∞ 时，a1  和 a2 趋于稳态值。金属框、导体棒的 v-t 图像如图 2 所示，由式 (14) 和式 (15)，可得速度差为

当时间 t→∞ 时，速度差趋于稳态值。

问题二 带电圆环的电场强度问题

2020 年高考全国乙卷第 20 题以均匀带电圆环为背景，不仅考查了静电场中电场强度和电势的叠加，而且也考查了核心素养中的物质观念、模型构建、科学推理和科学论证。原题如下：

如图 3 所示，竖直面内一绝缘细圆环的上、下半圆分别均匀分布着等量异种电荷。a、b 为圆环水平直径上的两个点，c、d 为竖直直径上的两个点，它们与圆心的距离均相等。则

A．a、b 两点的场强相等

B．a、b 两点的电势相等

C．c、d 两点的场强相等

D．c、d 两点的电势相等

下面运用大学电磁学知识，对 a、b、c、d 四点的电场强度作定量研究。

如图 4 所示，设细圆环的半径为 R，电荷线密度为 λ，b 点距圆心 O 为 r（r

根据余弦定理，有

上半圆的微元 dq 在 b 点的电场强度为

电场强度平行于 y 轴的分量为

从而

根据对称性，上、下半圆对称位置的微元 dq 在 b 点产生的电场平行于 x 轴的分量等值反向，所以 b 点的电场强度为

同理可得 a、c、d 三点的电场强度。

若上、下半圆带等量同种正电荷，a、b、c、d 四点的电场强度又该如何呢？在实际求解中，要用到一类特殊的积分——椭圆积分。椭圆积分是一种特殊函数的积分，不能用普通的积分方法来求解。它只能用二项式定理展开，得出一个收敛级数，并逐项加以积分，至于取项数的多少，视结果的精度需要而定。常用的全椭圆积分有三类，它们的解分别是

1） 第一类全椭圆积分

2） 第二类全椭圆积分

3） 第三类全椭圆积分

它不能写成幂级数的形式。下面我们来作具体的分析。

根据对称性，上、下半圆对称位置的微元 dq 在 b 点产生的电场平行于 y 轴的分量等值反向，故

从而

其中

令 θ=π+2φ，并且利用式 (25) 和式 (27) 则

其中，。

除此以外，还有一些类似的高考题需要探讨。尽管在高中阶段我们不要求学生作上述的定量研究，但作为一名优秀的物理教师，在给学生一碗水的同时，自己得有一桶水。所以我们对一道试题既要有让学生理解并掌握的定性分析，还要有能让自己信服的定量研究。只有处理好定性与定量的关系，站在高观点下看问题，才能对问题的认识更加深入透彻，讲解得更加得心应手。

审核编辑：黄飞