怎么从振子入手分析天线

前面讲以振子方程入手分析电磁场问题的解的时候，有网友发信息说这和天线有什么关系，怎么从振子入手分析天线；

那我就开始写几次关于天线的。

有一种说法是，能给任何人讲懂的理论，才说明你真的懂了。

对天线部分我曾经很有信心，觉得能给任何人讲懂；

因为我最多的思考是天线、所有关于振子方程、关于对电磁场问题解的理解，都是从天线出发的。

但是尝试几次之后发现还是很难做到；

尽管如此，我还是觉得有信心通过几次讲解，让大部分关注这个问题的人，能对天线的基本工作过程和物理原理，有一定的理解。

我的思路是这样的，首先通过对传输线中电荷或者载流子的分析，弄清楚他们基本的受力过程是怎么样的，传统的传输线为什么不能辐射。

然后是怎么破坏约束辐射的条件、或者辐射的条件是什么；怎么形成天线。

然后是天线从基本原理上的关注点，再后面是基于基本原理的一些讨论。

提醒下，我更多是从物理理解的角度去看和讨论天线，中间有不少自己的理解方式和看法，并且有时候为了理解方便、舍弃了一定的严谨性，请大家选择接收。

02

行波和驻波

 

我们先讨论信号在传输线中传输、或者说在电路中传输是什么样的。

我在电磁场问题解的讨论中说过，我们绝大部分问题都是从振子方程出发的和理解的；

所以先稍微回顾下基本的振子方程和它的解。

振子方程不考虑符号意义的通用数学形式为：

通解为： 

(振子方程的通解)

一个函数对变量的二次导数，等于这个函数乘以一个常数。

这个通解和振子方程的通解唯一不同，是指数项前加“±”号；

是考虑到在其它应用形式中，变量可能是空间位置，可以往前也可以往后；

而振子中这个变量是时间t，只有一个方向。

后续大部分微波电磁场问题，都是为了把方程转换为这种形式，然后求解。

基于这样的理解，只要看到这种形式，马上会想到上面解的形式；

其次对每个量代表的物理意义，可以联想到振子的情况来对应；

这样理解起来要容易的多。

引用上面那段话是为了加强对那个常数的理解，那个常数基本上是所有波、振动、以及对应介质特性的综合体现。

正弦交流信号在传输线中满足的方程：

直接套用振子方程的解：

时间维度上已经假定是正弦信号了，所以乘在一起就是最终通解：

这儿的通解中，位置变量z前取负号，表示信号是沿正z向传播的；

取正好表示沿负z方向传播。

这样沿传输线正向的波波为：

某一瞬间在导线中的电荷运动方向和分布如下：

导线中正z向传递的波

注意，导体中的载流子一般是电子，就是说负电荷；

为了分析问题方便，这儿同时用正电荷和负电荷；

因为负电荷流动，对应着缺少电荷平衡的“空穴”反向流动，所以这种假定不影响分析的结果。

我们知道，信号传到导体的末端、或者遇到阻抗变化的位置会反射回来；

特别是，我们这儿要重点分析的是天线，就假定传输线末端开路；

所以传输线中有较多的反向电流；

这个反向电流的表达式如下：

我们说过，变量z前面符号取正是反向传播。则这个信号某一瞬间的电荷分布如下：

导线中负z向传递的波

我们用同样正向流动、电荷为负的载流子表示；

这是为了后面分析驻波的时候、理解上更直观。

那么正负向电流同时存在的的表达式如下：

显然是驻波形式，某一时刻的载流子分布如下：

导线中驻波载流子分布

这个结果是从正反向波叠加得到的，似乎有点突然；

下面再示意性的表示下，怎么得到这个稳态分布的。

驻波形成的过程（示意性）：

图一：半周期正向信号

图二：超过半周期，正向信号开始反射回来

图三：0.75周期时的反射情况

图四：超过0.75周期时的情况

图五：一个周期时的情况

图六：1.25周期情况

图七：1.5周期情况

然后驻波形成，开始振荡；

图中左侧是信号注入的地方，右侧是导体的末端

注意，这儿是示意图，有不严谨的情况；

因为稳态驻波之前的瞬态是很复杂的，载流子不会按正弦形式排着队走的。

我们后面再尝试分析一下瞬态的情况，现在先基于驻波往下分析，因为天线主要是在驻波下工作（当然有行波天线，但辐射的机理是一样的）

同时说下，前面假设导线中有正负两种载流子，是为了这样理解方便；

我们可以认为电荷始终往一个方向走，然后到末端返回；

事实上，导线中是电子在不同位置运动方向不同，是局部来回振荡的；

显然那样理解起来没有这样直观。等按着这个思路捋顺了、对物理过程清楚了，再回到正常状态梳理，结论是不会变的。

至此，驻波形成，下面分析传输线中的驻波；以及受力分析。

03

传输线中的驻波

我们上面分析的是单根导线，事实上所有的传输线都是两根、信号都有正负两极的走线；

所以正常的传输线中的驻波应该是下面的形式。

传输线中的驻波

传输线中的两根导线，相当于分别形成驻波两组驻波。

图中的四分之一波长指示，是那个位置到末端是四分之一波长，是为了后面分析Monopole天线做准备。

另外，在这个位置上下导体的电势总为零，因为该处的正负电荷的数量总是相等；

不是图上这个瞬间才电势为零，是任何时间，大家自己在脑子里推移下看看，这儿不再加图了；

同时这儿的电流不为零。电势为零、电流不为零意味着什么？

意味着这儿的输入阻抗为零，相当于短路。

这就是学习传输线的时候，说四分之一开路短截线相当于短路的物理上的原因。

下面就传输线中几个特殊的时刻进行受力分析：

驻波受力分析1--电场储能最大的瞬间

此时的瞬间照片如下图：

在这个特殊时刻，传输线的每个位置，上下导体的电流都为零；

因为正向和反向移动的电荷量刚好相等；所以磁场的储能为零、对应的电场储能最大。

电场储能最大的瞬间

受力和运动：波腹点B两侧全为异性电荷，水平方向的电场力最大；

在电场力的作用下，异性电荷会越过节点B注入对方区域；

注入过程导致电流产生，由此产生的磁场力（或者说磁场感生的反向电场，简单起见称磁场力）阻止这种注入的过程；

刚开始电荷注入对方区域的速度慢，加速度最大（正弦求导就看出来了），所以磁场力也最大；

随着注入过程的延续，注入的速度越来越快，加速度却越来越慢，所以磁场力也在减弱；

同时，由于注入的异性电荷的中和作用，电场力也在减弱。

能量：刚开始时A对应位置的导体间电场很强，能量主要以电场的形式存储在A对应位置的导体间；

当电荷在水平方向电场力作用下注入异性电荷区域时

一方面，异性电荷的中和作用使得A点对应位置的导体间的电场减弱，此处以电场形式储存的能量也随之减少

另一方面，电场力在推动电荷运动的过程中，要不断克服磁场力对该过程的阻止作用，电场力克服磁场力做功的过程使得电场能逐渐减小、磁场能逐渐增加，直到节点两边完全电中和，则电场能完全转化为磁场能存储在B对应位置的导体间。

大部分能量（或者说作用力）存在与导体之间，那么导体外侧有没有能量？

也有，只是来自两个导体的力在导体外侧互相抵消，使得很近的地方才有净力的作用，远离导体的地方这个力将变得微不足道了。

驻波受力分析2--磁场储能最大的瞬间

此时的瞬间照片如下图：

此时上下导线的每个位置，都出于电中和状态，电场储能为零、磁场储能最大。

受力和运动：此时导体间的电场力为零，电荷的运动速度最大（电流最大），电荷运动在周围空间产生的磁场、不允许运动马上停止（磁场突变、意味着巨大的感应电场突然产生）；

所以运动电荷受到磁场力的作用继续运动，结果使得导线上的电平衡再次被破坏，节点两边又开始积累异性电荷；

异性电荷的吸引力阻止这种继续运动的过程，随着异性电荷量的增加，电场的阻力越来越大，磁场也被迫产生更大的磁场力来继续推动电荷运动；

直到某一刻、磁场力再也不能维持节点两边强大的电场引力时，节点两边异性电荷量达到最大，继续运动过程结束，电荷速度为零。

能量：此时，导体上和导体间都达到电平衡状态，系统的电场能为零；

电场力等于磁场力等于0；

线上的电流最大，磁场能最强；

在B点对应的导体间的空间里磁场能密度最大。

从电荷在磁场作用下继续运动开始，磁场力不断克服电场力做功，同时伴随着磁场能逐渐转化为电场能的过程。

磁场力总是试图让异性电荷分开，而电场力总是试图让异性电荷复合。

该文档中所说的磁场力都是指由磁场产生的感应电场的作用力。

04

传输线中的电荷对

 

上面是整个过程的动态情况，因为电荷始终处在同步振荡状态，所以我们拿出两个电荷对来简化问题的分析。

从静止到复合：下面是电荷对初始状态、到运动状态的场分析

先假定静止状态上下导体的一组电荷对，具体电场方向看上面的示意图

蓝线是上导体中电荷对的电场线、绿线是下导体电荷对之间的电场线。

静电场的叠加结果使得导体外和水平方向的电场因反向被弱化，两导体间异性电荷间的场因同向被加强（看图示的电场方向）

最终电场绝大部分分布在不同导体的异性电荷间。

当电荷开始复合运动时，感应电场方向示意图如上，蓝色依然是上单体电流感应的磁场、绿色是下导体电流感应的磁场；

从图示的方向可见，感应的磁场依然在两导体间同向加强，在导体外异向抵消，使得感应电场的绝大部分依然分布在导体间。

同时，红色线是为了阻止电荷运动的感生电场方向，也是两个导线间比较强、而导体外是抵消的趋势。

电荷水平方向的复合运动减弱了系统的电场势能；

由于感应场始终阻碍电荷的复合运动，作用的结果使得消弱的电场能通过对感应电场的做功，转化为越来越强的磁场能。

上下导体相互约束的结果，使得两导体上电荷复合感应的磁场都集中在两导体之间很小的区域内，与之相应的磁场能也集中在很小的区域内而不能扩散“稀释”；

这样，不管静电势能还是感应场势能，都集中在导体间很小的区域，导体外侧基本没有场的存在，这正是传输线平衡系统约束电磁场的方法、或者说不能辐射的原因。

从复合到分开：下面是电荷对从分开到复合的过程如下

复合后，电场能全部转化为磁场能，由于两导体上电荷的约束作用，磁场集中在复合后的电荷对附近。

磁场的作用总是试图把电荷分开；由于前一过程的电场能全部转化为电荷附近的磁场能，能量被约束在两根导线之间、没有减少和“稀释”，在该磁场的作用下，复合后的电荷对可以重新分开到复合前的程度，只是正负电荷的方向对调；

没有外来干扰的情况下，这组电荷对将以一定的频率永远这样振荡下去。

实际的传输线中有很多电荷在同时进行着复合、分离的过程，每一对电荷复合、上下导体间的电场就减弱一些，同时导体间的磁场相应增强；

注意区分这里的力和能量的区别，磁场和电场对应着潜在做功的能力，或者说对应着存储势能，而瞬时的电场力大小对应着能量转换速度。

并且，电荷的复合和分离的过程很可能是同时存在的，只是复合占优、还是分离占优；

我们看到的是两者综合作用后的宏观结果，就像固体的溶解过程一样。

05

空间电荷对的辐射

上面是传输线上的振荡电荷受力分析，我们看到，正负两根导线上的电荷相互作用的寄过，把整个振荡过程中的场、始终约束在两根导线之间，使得辐射不能发生。

如果是空间中振荡的电荷对、情况如何呢？

如下是空间中的一个电荷对，我们分析下它的振荡过程。

一对异性电荷在外力作用下静止不动，空间各点的受力达到平衡。

两电荷间有电势能存在，注意，这里的电势能分布在空间各点；

空间电场势能的分布是不均匀的，两电荷附近是势能最集中的地方。

放开两电荷，让电荷在静电引力作用下靠近；

如图黑色小圆圈是感应磁场的方向、红线是感应磁场感生的电场；

而红色小圈是感生电场又感应的磁场。

在电荷复合运动过程中，感应的电场力（红色虚线）阻止电荷的复合运动，这种阻力逐渐消耗掉两电荷间的电势能，消耗掉的能量转化为空间的磁场势能（黑色小圈）；

同时，感应电场在减弱两电荷间电场的同时，试图加强远离电荷处的电场（蓝色虚线和红色虚线方向一致的位置），也就是说试图使空间的能量分布变得平均，这也符合平衡系统的原理。

电荷复合之后，原来两电荷的电场能，以磁场能的形式分布在空间各点。

上一过程中感应电场试图使空间各点能量平均的努力，使得复合后电荷附近的磁场，不足以把两电荷重新分开到复合前的程度（能量密度减弱了）。

同时，远离该电荷对的空间中，有一定的磁场存在，如果在那儿放一电荷对的话，那儿的空间具有把这个电荷对分开到一定程度的能力。

也就是说，振荡电荷对的能量被传递到远离电荷对的地方了，这就是辐射。

如果不停的给原始电荷对输入能量，使得它可以维持这种振荡，则就有能量不停的传递出去，这就是天线辐射的过程。

同时，稍远离电荷附近的空间，比更远的地方有更高的能量密度，那里也存在着类似的振荡（位移电流），也在试图把能量平均到更远的空间；

空间是无限的，能量永远也不能平均，辐射不断向前传播。

另一方面看，能量不平均的系统是不稳定的，能量集中区域总是会自动的向低能的、更稳定的状态转换，这也使得源（电荷对）的能量得以不断的辐射出去。

所以，辐射的条件可以这么讲：异性电荷具有复合、分开的振荡条件；

异性电荷对的势能有条件分布在远离电荷的区域。

复合过程：上面其实已经把辐射机理说完了，这儿在分析下复合过程，让分析更完整。

上图为复合后的状态，由于没有任何约束、以及上面分析的感应电场转移作用，复合后的磁场分布在比较大的范围内；

一部分磁场已经脱离了电荷对的控制，或者说不能再参与把电荷对重新分开的新周期中；

假设只有上面右图蓝色虚线内的磁场、参与把复合的电荷重新分开的任务中，则虚线外的场将成为辐射场永远脱离了该系统；

而蓝圈之内的场就是近场。

实际系统中，这两部分对应着能量转化过程的辐射能和储能；

前面分析的传输线系统中的振荡电荷对，全部的能量都是储能；

它们只是在磁场能和电场能间转换，没有损失。

实际上，这是理想的电偶极子模型，可以由电偶极子的公式得到图中的蓝色虚线有多大、以及虚线内的能量和虚线为的能量的比值

06

传输线平衡系统的破坏--辐射

如何构造可以辐射的空间电荷对？

因为传输线上下导体的场、互相约束，导致场始终分布在两个导体之间，最简单的办法是把上下导体“掰开”，看下面的示意图：

这儿为了直观和便于理解，直接把上下导体“掰开”而场分布保持不变；

是为了让大家看清楚上下导体失去了互相约束的条件。

实际上的场分布会重新在上下导体间调整，比图示要复杂些；

因为不影响我们要表达的结论和意思，暂时按不严谨的方式看。

如上图，分开的两导体，不再能互相约束抵消对方的电场，远离导体的空间将有振荡电荷的电场存在；

根据自由空间电荷对的分析知道，这种空间的电场将不停的向更远的空间“平均”，形成辐射。

源只是用来补充每个周期损耗掉的能量，使电荷对总能保持同样的分开幅度。

如果传输线上下导体不是全部“掰开”、而是少许分开，照样可以辐射，只是上下导体中的电荷，存在部分相互约束作用（其实约束不能完全去掉，这儿比例更大了），感应场比较集中在导体附近，从而使得远处的感应场减弱，辐射变差；

这也是辐射差的天线近场更强的原因。

任何这样的导体都可以存在振荡的电荷对、从而可以辐射。

天线之所以工作在谐振状态，只不过是让天线上有更多的电荷对同时振荡；

每个电荷对的辐射效率是不变的，更多电荷对可以保证一个周期辐射更多的能量。

这是为啥大多数天线，都工作在谐振状态的原因。

07

关于辐射的讨论

上面分析了辐射的微观机理，下面从其他的角度再看下这个问题

什么是辐射：

振荡的电荷（或者交变的电流）在空间感应出变化的场，它会自发的把能量（或者场强）从比较集中的地方、向比较弱的地方转移，转移的结果使能量（或者场），在远离振荡电荷（或者交变电流）的地方得到加强（相比静电场），那里现在具有更多、对别的电荷做功的能力，这就是辐射。

为什么会辐射：

能量不均匀的系统是不稳定的，在没有外力干预的情况下，能量总是自发的从高能量的地方、向低能量的地方转移，试图达到均匀分布。

对放置在自由空间的振荡电荷来说，空间是无穷大的，能量永远不可能平均，所以这种转移就会持续向更远的空间进行，所以辐射会持续进行。

辐射是怎么进行的：

对振荡电荷来说，能量转移的方式是借助感应场的作用；

感应场总是弱化能量比较集中的地方的场、同时加强能量比较弱的地方的场，电场和磁场是转移能量的媒介、同时也是能量的携带者。

天线：

如果把源放在场（或者能量）比较集中的地方，不断补充因被转移而弱化的场，这个系统就能源源不断的向外辐射，这就是天线。

辐射的条件是什么：

辐射没有条件，它是振荡电荷（或者交变电流）这种不平衡系统自身的特性；

让这样的系统不辐射才需要条件，条件是它们感应的场不管怎么转换，始终集中在它们周围很小的空间内。

这需要某种约束条件，在双线传输线中、是通过两个导体中电荷的场相互作用实现的。

静止的电荷对为什么不能辐射：

静止的电荷对是平衡系统，肯定有外力使得电荷保持在它们静止的位置；

这个外力抵消了能量不均匀产生的作用力、或者说抵消了试图使能量均匀分布的自发作用力。

08

对设计天线的启示

到此为止，基本在分析辐射的机理，没有牵扯到天线的问题；

实际上很多天线设计的的基本需求和关注点，从辐射的机理角度能看的更清楚。

辐射场问题：

上图是从电荷对场转移分析的示意图，近似的划出了辐射场和近场。

显然，对天线来说，要尽可能增强辐射场；如何增加辐射场？

尽可能开阔的空间，以利于场的转移；

这是在手机等比较紧凑的设备中，天线的基本需求；

避免场的约束条件存在；

天线附近尽可能不要有其他金属，避免形成互相约束的场分布条件

介质加载辐射场部分；

通过在辐射场部分做介质加载、增加辐射场占比

更多的电荷同时振荡，即谐振问题，这是大部分天线是驻波天线的原因

我们看，虽然没有介绍天线部分，通过对辐射基本机理的理解，可以很好的把天线实际需求、和物理上的意义对应起来。

09

谐振

在没有讨论天线之前，再介绍下谐振问题，因为它也和辐射的机理有很紧密的联系。

如下是简单模拟的谐振建立的过程。

谐振建立的过程

上图是一个谐振建立的过程，能很好的说明谐振的作用。

蓝色的线是激励源的幅度大小，而红色线是谐振回路中的信号幅度大小

我们看到，在刚开始的时候、谐振回路中的信号幅度比较小；

随着多个振荡周期的叠加，振荡的幅度逐渐增加；

然后逐渐达到平衡。

什么时候达到平衡呢？

当每个振荡周期辐射出去的能量、等于源每个周期能提供的能量时，谐振达到平衡，即： 

这儿的R是真正的辐射电阻的概念，是一个为了理解方便等效的量，很多人容易把天线输入端口的输入阻抗混为一谈。

在这个过程中，每一电荷对的振荡、都有辐射；

随着谐振的增强，每个周期参与的电荷对逐渐增多、每一周期可以辐射出去的能量也逐渐增多。

当辐射出去的能量、等于源可以辐射出去的能量时，谐振达到平衡。

这儿用到了辐射机理分析中的如下概念：

大量的振荡电荷同时参与辐射，所以需要谐振和驻波，驻波意味着不同位置的电荷、同时同方向振荡……

“及时”补充因辐射而弱化的天线近场、保证最大的场梯度；

非谐振状态某些时刻，源能量不能正好补充振荡电荷因辐射弱化的场，这部分能量以电场能（对应容性）或磁场能（对应感性）存储于近场；

降低了场梯度，转移作用弱化，辐射场弱化，辐射场比例降低

审核编辑：黄飞