请问群时延和相位时延分别是怎么影响着信号的呢?

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今日正文

(1)  什么是线性时不变系统(LTI System)?

线性时不变系统,英文全称是linear time-invariant system,简称LTI System。

线性时不变系统,即这个系统既是线性系统,又是时不变系统。

所谓线性系统,即表示系统满足叠加关系,如下图所示。

滤波器

所谓时不变系统,即满足下列等式,如下图所示:

滤波器

即,输入的时延会等量的反应到输出上。

(2) 线性时不变系统的传输函数

线性时不变系统,可以用系统的冲激响应来表示,即当输入为冲激函数δ(t)时,系统的输出响应。同时结合LTI系统所满足的线性和时不变特性,推导出输入x(t),输出y(t)和冲激响应h(t)之间的关系,如下图所示。可以看到,LTI系统的输出,是其输入与系统冲激响应的卷积。

滤波器

对等式两端求傅里叶变换,可以得到:

滤波器

H(f)即定义为LTI系统的传输函数,为Y(f)和X(f)的比值,也为系统的冲激响应对应的傅里叶变换,即:

滤波器

同时,传输函数H(f)还可以分成两部分来表示,一部分为幅度,一部分为相位,即:

滤波器

(3) 无失真线性时不变系统

对于小信号射频链路而言,我们希望这个线性时不变系统是无失真的,即信号通过这个系统时,相当于把信号从一个时间点上平移到另一个时间点上,除了幅度等比例放大或缩小外,其他都不变。

滤波器

无失真线性时不变系统,即表示既无幅度失真,也无相位失真。

所谓幅度失真,就是不同频率处幅度的放大或缩小的比例不一致,即上图中的K随频率变化。所谓相位失真,就是不同频率处相位时延(phase delay)不一致,即上图中的t0随频率变化。

而无幅度失真和无相位失真,即表示K和t0都是恒定值。

无失真线性时不变系统的传输函数H(f)的幅度和相位响应,可以用下图来表示。

滤波器

(4) group delay和phase delay的定义

滤波器

群时延(group delay)和相位时延(phase delay)的定义如上图所示。

按照上面的定义,计算无失真线性时不变系统传输函数对应的phase delay和group delay,发现两者是相等的,如下图所示。

滤波器

(5) 那群时延和相位时延分别是怎么影响着信号的呢?

假设输入是一个带包络的窄带调制信号,那么可以推导出这个信号经过LTI系统后,群时延和相位时延对它的影响,如下图所示。

滤波器

(6) 从频域看看这个影响?

假设系统为无失真线性时不变系统,则τp=τg,并假设输入信号是带包络的窄带调制信号,如下图所示。

滤波器

则输出信号的频谱为:

滤波器

在相应的假设下,输出信号的频谱为:

滤波器

也就是说,group delay对应于m(t)个频率分量的角度旋转,上面是假设τg是不随频率变化的,旋转角度是有规律可言的;但一般滤波器的群时延,都有一个波动,这会导致旋转角度没有规律,而且基带频率的地方,角度旋转的越多。不知道,这是不是宽带信号要求群时延波动更低的底层原因?

而phase delay则对应于载波的角度旋转,因为这边的假设,载波的旋转角度正好是200pi,正好是周期的整数倍,所以没有在图中体现出旋转角度的量。

我想基带算法部分,对固定的群时延应该能够纠正,但是对于群时延波动,不知道行不行?

 

审核编辑:刘清
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