高阶技能学习，傅立叶变换的简易指南

　　关于傅立叶变换，无论是书本还是在网上可以很容易找到关于傅立叶变换的描述，但是大都是些故弄玄虚的文章，太过抽象，尽是一些让人看了就望而生畏的公式的罗列，让人很难能够从感性上得到理解，对于这个有史以来最重要的发现之一。如何才能更轻易地理解这个公式呢？

　　

　　

　　那么。抛开枯燥难懂的数学符号，让我们用一种新方法来试着理解。这是一个纯中文的阐述：

　　傅立叶变换有什么用？拿一杯思暮雪，用它能找出配方。

　　该怎么做呢？把思暮雪放进过滤器（滤波器），然后萃取每一种成分。

　　为什么呢？因为配方比思暮雪本身更容易用来分析、比较和定义。

　　我们怎么能拿回原本的思暮雪呢？混合所有的成分。

　　然后，类似于“数学-中文”模式：

　　基于时域的傅立叶变换会检测每一种“周期成分”（周期长度，补偿，和转速），返回完成的“周期配方”（频率图谱）

　　现在要上公式了？当然不是！让我们自己动手，进行一次生动的模拟。

　　要是一切顺利的话，你会惊奇的发现，你已经直观的明白了为什么傅立叶变换能够实现。我们用下列步骤替代了所有的数学分析。

　　这并不是一次紧张的实验，而是一次舒心的体验。让我们开始吧！

　　由思暮雪得到配方

　　数学变换的实质是变量关系的改变。根据所算之物，把我们对数量的认知从“单一物体”（沙里的线条，计数系统）变成“许多10”（小数）。游戏得分？继续计数。乘法？拜托，是小数。

　　傅立叶变换把我们的视角由消费者变成了生产者，从“我看到了什么？”变成“这是怎么发生的？”。

　　换句话说：拿一个思暮雪，我们要找出它的配方。

　　为什么呢？好吧，配方是饮料的最佳描述。你并不会跟人一滴一滴分析饮料，只会说“我有一杯橘子或是香蕉思暮雪”。配方比事物本身更易于归类、比对和定义。

　　那么……拿一杯思暮雪，到底怎么找到配方呢？

　　

　　嗯，想象一下你周围有很多过滤器（滤波器）：

　　把思暮雪倒进“香蕉”过滤器（滤波器）里。提取出了1盎司香蕉。

　　倒进“橘子”过滤器（滤波器）里。提取出了2盎司橘子。

　　倒进“牛奶”过滤器（滤波器）里。提取出了3盎司牛奶。

　　倒进“水”过滤器（滤波器）里。提取出了3盎司水。

　　我们可以通过混合每种成分得到原先的思暮雪。懂了么？

　　过滤器（滤波器）必须是相互独立的。香蕉过滤器（滤波器）只滤出香蕉，没有其它的任何成分。再多的橘子也不能影响香蕉的读数。

　　过滤（滤波）必须是彻底的。如果我们遗漏了一个过滤器（滤波器），就永远也得不到真正的配方（天哪！那还有个芒果过滤器（滤波器）！）。我们的过滤器（滤波器）必须能确定每种成分的含量。

　　不同成分之间必须是可合成的。思暮雪必须能被分离并重制（饼干？没那么夸张。谁有想要一堆碎屑呢？）。不同成分在分离和结合的时候必须是线性的。

　　周期看世界

　　傅立叶变换持有一种特别的观点：要是每一种信号都是周期性的呢（周期性重复）？

　　哇塞。这个假设太让人着迷了，可怜的约瑟夫·傅立叶首先提出了这个假设。（现实里约瑟夫，楼梯能做成环状的么？）

　　忽略数学界持续数十年的争论，我们希望学生们可以直观的理解这个概念。额……让我们略过直观的部分。

　　就像我们分析思暮雪成分一样，傅立叶变换可以分析出信号的成分：

　　开始时，是一个时域信号

　　用滤波器来测定每种可能的“周期信号成分”

　　完整的“配方”需要列出所有的“周期信号成分”的数值

　　完成。这就是大部分教程要教给你的东西。别被吓到了；想想这个例子“天哪，过五关斩六将，我们终于得到源代码（DNA）了”。

　　要是地震波（不同强度和速度的震动）能被分离成几种成分，建筑就能被设计成免于地震威胁的高强度结构。

　　要是声波（高低不同的频率）能被分成几种成分，我们就能增强想要的部分，削弱不想要的部分。随机噪声引起的噼啪声可以被滤除。相似的“声谱”可以被比对（音乐识别服务比对的是声谱而不是原始音频）。

　　要是电脑数据能被周期性的描述，那些不重要的信息就能被滤除。这种“有损压缩”可以急剧减小文件的大小（这就是为什么JPEG和MP3文件要比原始的.bmp或.wav文件要小得多的原因）。

　　要是我们的信号是无线电波，我们可以通过滤波器来听确定的频段。在思暮雪的世界里，想象每个人都注意着不同的成分：亚当在寻找苹果，鲍勃在寻找香蕉，查理想要花椰菜（兄弟，对不住了）。

　　傅立叶变换在工程领域运用广泛，但事实上，它是个寻找现象根源的象征。

　　多想想周期信号，而不是正弦曲线

　　我最大的困惑在于“正弦曲线”和“周期信号”的定义区分。

　　“正弦曲线”意味一种往复运动模式（正弦或余弦函数）。在99%的场合里，指的都是发生在象限里的运动

　　周期信号是一种环形，包括两个D形图案的模式。要你愿意用10块钱的话来描述10分钱的主意，你可以把一个圆形路径称作一个“完整正弦曲线”。

　　把一个周期的路径称作一个“完整正弦曲线”，就像你把一个谚语叫做“汉字的集合”。你选择了错误的细节级别。谚语包含了复杂的含义，而不是可以拆分的汉字！

　　傅立叶变换是关于周期（不是含有一个D形的正弦曲线）和欧拉公式的变换：

　　

　　我们必须用虚数做周期运动么？当然不。即使那么做既方便又简洁。我们把信号分成实数和虚数的部分，但别忘了前提是：我们在做周期运动。

　　沿着周期路径

　　我们一边用电话聊天，一边在脑海里画圆（你答应了的！）。我该说什么呢？

　　这个圈儿该有多大呢？（幅度，半径范围的大小）

　　我们要画得多快？（频率。1周期/秒=1赫兹=2π弧度/秒）

　　从哪里开始呢？（相位角，0度对应x轴）

　　我可以说“2英寸，起始于45度，1圈儿每秒，开始吧！”。半秒之后，我们应该到达了同一点：起始位置+经过角度=45+180=225度（2英寸半径）。

　　

　　每个圆周路径都需要设定大小、速度和起始角度（幅度/周期/相位）。我们还可以把它们合到一块：想象用不同速度绕圈儿跑的小摩托车。

　　所有周期的位置信息加到一起就是原本的信号，一如所有的成分混合就得到了原本的思暮雪一样。

　　下面是一个对基本圆周路径的仿真：

　　（详细、直观的动画。需要浏览器。点击图像暂停/继续。）

　　周期的时间顺序显示，开始于0Hz。周期［0 1］的含义是

　　0的意思是0Hz周期（0Hz=开始于x轴，0度相位的连续周期）

　　1的意思是1Hz周期（每个时间间隔完成一个周期）

　　现在是棘手的部分：

　　蓝色图像表示周期的实数部分。另一个可爱的数学问题：我们常用水平轴来表示每个周期的实轴，其数值在数值轴上显示。你也可以把坐标轴旋转90度。

　　时间点间隔按照最高频率设定。1Hz信号需要两个时间点来表示，分别记录起始和终止时刻（一个信号值是没有频率的。）。时间值［1 -1］对应着这些等间隔点的幅度。

　　然后呢？［0 1］是1Hz周期。

　　现在加入2Hz周期，并叠加。［0 1 1］意味着“0Hz值为零，1Hz时值为1，2Hz时值为1”：

　　哇塞。我们的小摩托车越跑越快了：绿线代表了1Hz和2Hz，蓝线是叠加后结果。点选绿色复选框可以让结果看起来更清晰。混合好的“味道”是一个倾斜的函数，从最大值开始，降到最低值。

　　黄点是我们测量信号的时刻。已经确定了3个周期信号（0Hz， 1Hz， 2Hz），每个点为信号值的1/3.在这个例子里，周期［0 1 1］生成了时间量［2 -1 -1］，从最大值（2）开始，然后降到最低（-1）。

　　哦！刚才忘了考虑相位角了，现在我们要把它加上！加上数值：相位角。［0 1:45］是从45度开始的，1Hz的周期函数：

　　它是［0 1］的进阶版本。时域上，我们用［.7 -.7］替换［1 -1］。因为我们的周期函数并不是沿着我们的测量时方向上，它们是还在运动的点（这是可被设置的）。

　　通过改变周期信号的频率，强度和相位，傅立叶变换可以匹配任何时域信号。

　　信号所谓“时域观测”或是“频域成分”已成为一种抽象的概念。

　　说够了，就让我们把它讲明白吧！你可以选择模拟器里任何时间或类型的周期函数。如果它是时间表示的，你看到的许多构成所要周期函数的点（其集合被称为波）。

　　

　　但是——难道在黄色的时间间隔里不包括任何特殊的点么？当然包括。但是我们怎么知道没有测量的时候，信号是按照直线，曲线还是折线穿入另一象限呢？它在我们所需的等间隔时刻出现在我们希望的位置。

　　创造一个脉冲信号

　　我们可以用周期函数制造出一个脉冲信号么，像是（4 0 0 0）？（用括号表示时间点）

　　尽管脉冲看起来很烦人（难道只是烦人？），还是要考虑周期函数的复杂性。我们的周期成分必须对齐（最大值为4），然后向外传播，每个周期函数都有其它函数可与其抵消。每个显示为0的点，都是因为多个周期函数在此获得平衡（你并不能关掉某个函数）。

　　让我们看看每个时间点：

　　在0时刻，每个周期函数都处于最大值，（4？？？）由4个周期函数（0Hz 1Hz 2Hz 3Hz）叠加而成，每个函数的幅值都是1，而相位角都为0（换言之， 1 + 1 + 1 + 1 = 4）。

　　在之后的时刻（t = 1， 2， 3），所有周期函数的幅值必须相互抵消。

　　下面是数值为0的秘诀：当周期函数的值处于对称轴的两端（南和北，东和西，等等。），它们的和为0（要是3个周期函数均匀的分布在0，120和240度，它们就能相互抵消）。

　　想象许多绕圈旋转的点。先面试每个点在每个时刻的位置：

　　时刻 0 1 2 3

　　------------

　　0Hz:0 0 0 0

　　1Hz:0 1 2 3

　　2Hz:0 2 0 2

　　3Hz:0 3 2 1

　　要注意，3Hz的周期信号从0开始，然后到了3，然后到了6（只有4个位置，6Mod，然后是9（9Mod4=1）。

　　每个周期长度为4个单位，周期函数在2个单位时的位置既不在一条线上（不同于0， 4， 8…），也不再相反的位置（不同于2， 6， 10…）。

　　好了。让我们看看每个时间点的情况：

　　时刻 0：所有的周期函数都处于最大值（其和为4）

　　时刻 1：1Hz和3Hz函数值相互抵消（位置1和3是相反的值），0Hz和2Hz函数值相互抵消。最后结果为0.

　　时刻 2：在0时刻，1Hz和3Hz函数值相等，在2时刻，0Hz和2Hz函数值相等（相反的值）。相加结果还是0.

　　时刻 3：0Hz和2Hz函数值相互抵消.1Hz和3Hz函数值相互抵消。

　　时刻4（重复时刻0的情况）：所有函数值相等。

　　秘诀在于让相互独立的函数相互抵消（0Hz 和 2Hz， 1Hz 和 3Hz），或是让同方向上数值和相互抵消（0Hz + 2Hz 和 1Hz + 3Hz）。

　　当每个周期属性相等，相位为0时，就可以对齐并消去后面的值。（我并不能很好的证明这一点——有人能吗？——但你可以自己看到其发生。试试［1 1］， ［1 1 1］， ［1 1 1 1］，你会注意到一个脉冲波峰：（2 0）， （3 0 0）， （4 0 0 0））。

　　这里直观的显示了怎么对齐，接下来是消去相反值：

　　

　　改变峰值时间

　　t=0时，什么都没有发生。接下来换到（0 4 0 0）？

　　应该和（4 0 0 0）看起来差不多，但是周期函数必须在t=1时（当前时刻的1s后）对齐。然后要考虑相位。

　　想象有4个人参与的赛跑。赛跑开始时，4个人都在起跑线上，（4 0 0 0）。没意思。

　　怎么能让每个人都同时到达终点呢？很简单。只要让他们不停的你追我赶就行了。也许奶奶在终点线前两英尺，Usain Bolt离线还有100米，他们可以拉着手一起穿过终点线。

　　相位变化，起始角度就是周期信号世界里的延迟。接下来要说怎么调整起始位置，来者每个周期都延迟1秒：

　　0Hz周期函数不发生移动，所以它已经对齐了

　　1Hz函数在4秒完成一次往复，所有延时一秒意味着1/4轮。相位延迟90度（-90），然后它在t=1时刻到达相位0，其最大值。

　　2Hz函数的变化速度是1Hz函数的两倍，所以要两倍的角度来满足要求（-180或180，分别沿着不同的方向）。

　　3Hz函数的速度是1Hz函数的3倍，所以要有3倍的移动距离（-270或90度的相位改变）

　　如果时间点（4 0 0 0）是由函数［1 1 1 1］产生，那么（0 4 0 0）则是由［1 1：-90 1:180 1:90］产生。（ 注意： 此处用1Hz来表示一个周期运动经过的时间）。

　　天呐——我们在脑子里算出了周期函数！

　　干扰可视化是与之类似的，除了要在t=1时刻进行对齐。

　　

　　试一下这个：你能想象出（0 0 4 0），即2秒延时时候的情况么？0Hz没有相位。1Hz是180度，2Hz是360度（也就是0度），3Hz是540度（即180度），结果为［1 1:180 1 1:180］。

　　完整的傅立叶变换

　　事实上：我们的信号只不过是一大堆脉冲信号的叠加！只要得到每个时刻组分，你就能知道整个信号的成分。

　　傅立叶变换通过频率得到“配方”：

　　把连续的信号（a b c d）分成不同的时刻：（a 0 0 0） （0 b 0 0） （0 0 c 0） （0 0 0 d）

　　任意频率（例如2Hz），试验配方是“a/4 + b/4 + c/4 + d/4“（每个尖峰的强度被除以频率数目）

　　等等！还要对每个脉冲设置延时（每一秒延时的角度取决于频率）。

　　每个频率真正的配方=a/4 （无延时） + b/4 （1秒延时） + c/4 （2秒延时） + d/4 （3秒延时）。

　　遍历每个频率就能得到完整的变换结果。

　　这就是从“数学文字”到真正数学的过程：

　　

　　几个要点：

　　N=时间样本的数量

　　n=当前运算的样本编号（0 。。 N-1）

　　xn=n时刻信号值

　　k=当前频率（0Hz到N-1Hz）

　　Xk=信号中频率k的值（幅度和相位，一个复数）

　　1/N被用于反变换（从时域信号转化为频域信号）。这是可以实现的，尽管我更喜欢用1/N进行正变换，它表示了脉冲信号的正真大小。你也在变换过程（正反变换中仍含有1/N）中使用1/sqrt（N）。

　　n/N是我们经过的时间比例。2πk是单位为弧度/秒的速度，e^-ix是反向经过的路径。合起来就是以当前时间和速度经过的实际路程。

　　傅立叶变换的原始方程只告诉你“加上复数”。很多变成语言并不支持直接使用复数，因此要把它们转化成直角坐标系，然后相加。

　　让我们开始吧

　　这是我遇到的最有挑战性的课题。傅立叶变换涵盖了几个要点（离散/连续/有限长/无限长）的高深数学（狄拉克δ函数），很容易遗漏掉一些细节。这真的很挑战我的认知。

　　但仍有简单的类比来说明这些——我拒绝用别的方式思考。无论是思暮雪还是Usain Bolt & Granny穿过终点线，都能让我们轻易的理解这一点。这个比喻是有缺陷的，但不算坏：它是一个木筏使用，一旦我们过河就把它们留下。

　　我意识到我自己的理解是如何薄弱，我没办法在自己的脑海里想出（1 0 0 0 ）的变换。对我来说，就像，我懂加法。但是，“1+1+1+1”到底等于几呢？为什么不呢？难道这些最简单的运算不该有个直观的展示么？