聊聊基带部分的脉冲成形

今日碎碎念

在躺平了2天之后，实在心虚。所以昨天晚上，拿起陈爱军老师的深入通信原理翻了一翻。看到基带滤波器处，觉得这次看，没有那么云里雾里了，清晰了很多。

今日正文

在数字通信中，要传输的声音、图像等信息，会被转换成二进制数据流，然后又会被映射分流为I路和Q路，并分别进行脉冲成形。

(1) 为啥不直接用矩形脉冲

首先，想到的，就是不做太多处理，纯粹用矩形脉冲来表示数字信号。如下图所示。

但是，矩形脉冲在时域是带限，对应到频域，是sinc函数，拖尾幅度比较大，且衰减缓慢，所占带宽比较大。

而传输信道又不可能提供无限的带宽，所以矩形脉冲在信道传输过程中，高频段的信号会被滤除掉，产生失真。

对应到时域，就是后面码元的电平，会受到前面码元拖尾的影响，从而使得电平有所改变，即会产生码间干扰(ISI, Intersymbol interference)。

失真严重的话，就可能导致判决出错，无法正确恢复出数字信号。

因此，如果直接用矩形脉冲的话，由于矩形脉冲的带宽很宽，但是信道不能提供这样宽的带宽，所以信号会产生失真，产生ISI；而不想产生码间干扰，则需要提供足够的带宽。

也就是说，使用矩形脉冲函数作为成形函数的话，无码间干扰和窄频谱带宽，没有办法兼得。

(2) sinc脉冲出场

那怎么办呢？有没有其他脉冲函数可以兼得呢？答案是有的，那就是使用sinc脉冲。

由傅里叶变换的对称性可知，如果函数x(t)的傅里叶变换是y(f)，则y(t)的傅里叶变换是x(-f)；如果函数x(t)是个偶函数，那么x(t)的傅里叶变换是y(f)，y(t)的傅里叶变换是x(f)。

所以，时域上的矩形函数对应频域上的sinc函数；时域上的sinc函数对应频域上的矩形函数。

对应sinc函数而言，首先在频域上是带限的，为矩形函数，所以可以无失真地在相应带宽的信道中传输；同时，在时域上，多个sinc信号叠加的时候，当一个码元达到最大值的时候，其他码元的幅值刚好为0，所以只要采样点合适，就可以恢复出数字信号。

(3) 实际中使用的是啥？

对于sinc脉冲而言，只要采样点正确，正好位于各个码元最大值所对应的时间点，就可以恢复出原来的数据，但是sinc脉冲拖尾幅度比较大，衰减慢，如果采样点稍有偏差，ISI(码间串扰)就会比较大。

而实际的系统，总是会存在一定的定时误差，所以一般不会直接使用sinc脉冲，而是会采用升余弦滤波器，因为它拖尾幅度小，而且衰减快。

升余弦滤波器的频率响应为：

alpha称为升余弦滤波器的滚降系数，当alpha=0时，升余弦滤波器就变成理想矩形滤波器。

由下图可知，基带RC滤波器的带宽为(1+alpha)/(2Ts)；如果处于载波处的话，那么RC滤波器的带宽为(1+alpha)/Ts，即我们经常说的信道带宽。

升余弦滤波器对应的时域表达式为：

从表达式中可以看出，其保留着sinc函数在t=n*Ts处为0的特性，同时由于额外因子的加入，拖尾的衰减速度加快。

在实际通信系统中，经常会把一个升余弦滤波器（RC,raised cosine filter）拆成2个根升余弦滤波器(RRC,root raised cosine filter)，发射机处放一个，接收机处放一个。