量子计算场景实用秘籍：开物SDK之“高阶函数降阶”

现实应用场景往往具有复杂的多变量交互作用和非线性行为，在数学上均属于高阶问题，存在于实际应用中的各个领域，如图像处理中的去噪和超分辨率、工程设计与优化、金融工程中的期权定价和投资组合优化、医疗领域中的治疗方案优化和药物代谢过程等。

在现实应用中，解决高阶问题充满挑战。一是容易陷入局部最优解。高阶问题通常涉及大量变量和约束，导致解空间变得庞大和复杂，且存在多个局部最优解。因此，在寻找全局最优解的过程中，避免陷入局部最优解变得尤为关键，这增加了求解的难度。二是对计算资源需求高。这包括但不限于处理时间、内存容量和处理器性能。随着变量数量的增加，求解所需的时间可能会以指数级增长，这不仅对硬件设施提出了更高的要求，也对算法的优化提出了挑战。三是对解的精度要求高，小的误差可能会导致解的质量显著下降，最终影响结果的可靠性、有效性。

幸运的是，现实中的复杂应用场景通常是由最基础的低阶数学问题演化出来的。基础的数学问题通过不断组合和扩展，形成了复杂的应用场景。

比如，图像处理是从像素操作（基础矩阵运算）出发，发展出图像滤波、边缘检测等基本图像处理技术。在此基础上，运用基础卷积运算和激活函数，提取出图像高层次特征，使其能够处理复杂的图像分类、目标检测等任务，也构成了卷积神经网络（CNN）的基本框架。进一步，集成学习和深度学习技术通过多层网络结构和反向传播算法，结合多个学习器，大幅提升了模型的处理能力和预测精度，最终形成强大的图像处理与计算机视觉系统。

再举一个简单的例子，现实生活中的五颜六色，构成了丰富多彩的世界，但这么多阶的复杂颜色分类，其实都可以归结为最基础的“红黄蓝”三原色。通过三原色的多种组合，才演化出更高阶的、更细分的具象色彩。

 

由于高阶问题很复杂，所以直接求解非常困难，但降阶（二次化）可以将高阶函数转换为基础的二次函数，从而简化优化问题，使其更容易求解。

例如网络安全问题中的RSA加密算法的破解，借助降阶，用QUBO（二次无约束二值优化）可以建模整数分解问题，随着量子比特的增加，用量子计算破解RSA算法将更容易。此外，银行业务中通过设置信用评分卡的合理阈值，以使银行的最终收入最多的复杂问题，也能利用QUBO建模进行求解，得到高收益的银行卡设置方案。

面对不同行业场景下的实际问题的高阶函数，基于玻色量子自研的开物SDK都可以实现轻松降阶，将HOBO（高阶二值优化）通过添加约束条件转化为QUBO问题，简化问题难度，大幅加快解决NP-Hard组合优化问题的速度。

降阶思路：

HOBO可以通过添加约束条件转化为QUBO问题。

具体来说，即通过变量替换，令y=x0x1，将原式中的单项式阶数降低，并添加y=x0x1的约束。

    银行信用评分卡设置的降阶案例      

当大家借用充电宝的时候，都会显示一个信用评分的免押金弹窗，这是我们能看得见的一种信用等级评分。当我们在申请银行信用卡或相关的贷款等业务中，银行对客户授信之前，需要先通过各种审核规则对客户的信用等级进行评定，通过评定后的客户才能获得信用或贷款资格，这是我们看不见的一种信用等级评分。

在银行业，规则审核过程实际是经过一重或者多重组合规则后对客户进行打分，这些规则就被称为“信用评分卡”，每个信用评分卡又有多种阈值设置（有且只有一个阈值生效），这就使得不同的信用评分卡在不同的阈值下，对应不同的通过率和坏账率，一般通过率越高，坏账率也会越高，反之，通过率越低，坏账率也越低。

对银行来说，通过率越高，通过贷款资格审核的客户数量就越多，相应的银行获得的利息收入就会越多，但高通过率一般对应着高坏账率，而坏账意味着资金的损失风险，因此银行最终的收入可以定义为：

最终收入= 贷款利息收入-坏账损失

我们将该问题进行做如下简化：假设贷款资金为100万元，银行贷款利息收入率为8%，要为3种信用评分卡选取阈值。三种信用卡组合后，总通过率为所有信用卡的通过率相乘，坏账率为三种评分卡对应坏账率的平均值。也就是说，贷款利息收入=贷款资金×利息收入率×总通过率×（1－总坏账率）

那么，如何设置合理的阈值，使得最终收入最多？

实际上使用QUBO建模可以进行求解，得到高收益的银行卡设置方案。

设y1j，y2j，y3j 分别代表信用卡的第1、2、3种信用评分卡选择第j个阈值，选择则取1，不选则取0，h1j,h2j,h3j分别是第1、2、3种信用评分卡选择第j个阈值的坏账率。那么最终的收益率可以表达为：

表达式中出现了高次项：y1iy2jy3k已经是三次项，需要借助降阶把它变成二次项。

设置辅助变量qij，用它替换公式中的y1iy2j并约束qij=y1iy2j。 借助新增的辅助变量和约束，原问题就转化为了二次问题。而要使得约束成立的方式是在原式中添加惩罚项，即Rosenberg二次惩罚项: 

最终新的多项式为 

其中k是惩罚项系数。  

    其它降阶方法

      对于特定的情况，也存在一些特殊的降阶方法。

如当某一高次项的系数为负数时，可以使用不同的二次化方法：

其中ba是辅助变量。

当b1b2...bn=1时，说明对所有的都满足bi=1，由于ba的取值只受b1,b2...bn影响，所以容易验证当ba取1时等式右侧QUBO值更低。当等式右侧取最低值时正好与等式左侧相等，取值为-1。

当b1b2...bn=0时，说明存在bi都满足bi=0，ba取1代入等式右侧得到

 

所以容易验证当ba取0时等式右侧QUBO值更低。当等式右侧取最低值时正好与等式左侧相等，取值为0。

举例：

可以等价替换为:

相比于上述方法，该方法可以用一个辅助变量将1个n次项变为2次，只增加1个辅助变量。但是应用范围要小。

针对不同的应用场景，还存在一些其它特定的降阶方法。

    总结    

对于现实生活中的不同行业不同场景下的复杂问题，高阶函数的降阶求解是一种通用型求解思维，基于玻色量子自研的开物SDK，用户只需关注建立与场景所对应的数学模型，SDK提供的方法可以自动完成降阶，用户不用关心背后的复杂度，大大降低用户使用相干光量子计算机求解问题的难度。