MATLAB中的矩阵索引

MATLAB 2024-09-05 241

描述

作者： Steve Eddins 和 Loren Shure，MathWorks

对矩阵进行索引是从矩阵中选择或修改部分元素的一种方式。MATLAB 有几种索引样式，它们不仅功能强大、灵活，而且可读性强、表现力强。矩阵是 MATLAB 用来组织和分析数据的一个核心组件，索引是以可理解的方式有效操作矩阵的关键。

对于 MATLAB 用户来说，索引往往与另一个术语密切相关：向量化。向量化意味着使用 MATLAB 矩阵和向量运算而不是标量运算，这通常会生成更短的代码，更具数学表现力和可读性，有时执行速度还会更快。

对向量进行索引

我们从向量和下标的简单情况开始。

 v = [16 5 9 4 2 11 7 14];

下标可以是单个值：

 v(3)     % 提取第三个元素
  ans =
      9

下标本身也可以是另一个向量。

 v([1 5 6])      % 提取第一个、第五个和第六个元素
  ans =
      16   2   11

MATLAB 中的冒号表示法提供一种从 v 中提取一系列元素的简单方法。

 v(3:7)     % 提取第三个至第七个元素
  ans =
      9   4   2   11   7

交换 v 的两个“半部分”以创建新向量。

v2 = v([5:8 1:4])     % 提取并交换 v 的两个“半部分”
  v2 =
     2   11   7   14   16   5   9   4

特殊的 end 运算符是引用 v 的最后一个元素的简便快捷方法。

  v(end)     % 提取最后一个元素
  ans =
      14

end 运算符可用于表示一个范围。

  v(5:end)     % 提取第五个到最后一个元素
  ans =
      2   11   7   14

您甚至可以使用 end 进行算术运算。

  v(2:end-1)     % 提取第二个到倒数第二个元素
  ans =
      5   9   4   2   11   7

将冒号运算符和 end 结合使用可以实现多种效果，例如提取每第 k 个元素或翻转整个向量。

  v(1end)   % 提取所有奇数元素
  ans =
      16   9   2   7
  v(end1)   % 反转元素的顺序
  ans =
      14   7   11   2   4   9   5   16

通过使用等号左侧的索引表达式，您可以替换向量的某些元素。

  v([2 3 4]) = [10 15 20]   % 替换 v 的某些元素
  v =
    16   10   15   20   2   11   7   14

通常，右侧的元素数必须与左侧的索引表达式所引用的元素数相同。然而，您始终可以在右侧使用标量。这称为标量扩展。

  v([2 3]) = 30   % 用 30 替换第二个和第三个元素
  v =
    16   30   30   20   2   11   7   14

请牢记：MATLAB 使用从 1 开始的索引。在对矩阵进行索引时，有些语言使用从 0 开始的索引。其他语言，如 MATLAB，使用从 1 开始的索引。MATLAB 使用的表示法可能与您在数学教科书中看到的相同。MATLAB 为什么使用从 1 开始的索引？MATLAB 创始人 Cleve Moler 对此解释道，“这就是数学的表示方式。”

使用两个下标对矩阵进行索引 现在考虑对矩阵进行索引。我们将在示例中使用幻方。

  A = magic(4)
  A =
          16           2           3          13
           5          11          10           8
           9           7           6          12
           4          14          15           1

通常，对矩阵进行索引需要使用两个下标 - 第一个下标表示行，第二个下标表示列。

最简单的形式是选择一个元素。

  A(2,4)   % 提取第 2 行第 4 列中的元素
  ans =
       8

更常见的是，其中的一个或两个下标可以是向量。

  A(2:4,1:2)
  ans =
           5          11
           9           7
           4          14

下标位置中的单个“:”是 1:end 的简写表示法，通常用于选择整行或整列。

  A(3,:)   % 提取第三行
  ans =
     9   7   6   12
  A(:,end)   % 提取最后一列
  ans =
         13
          8
         12
          1

有时人们对如何从矩阵中选择分散的元素感到困惑。例如，假设您要从 A 中提取元素 (2,1)、(3,2) 和 (4,4)。

矩阵中的分散元素。

我们如何表示这种输出？

表达式 A([2 3 4], [1 2 4]) 不会实现想要的效果。下图说明双下标索引的工作原理。

从矩阵中提取分散的元素需要不同索引样式，下一个主题将讲述这方面内容。

线性索引

表达式 A(14) 的作用是什么？

当仅使用单下标对矩阵 A 进行索引时，MATLAB 会将 A 视为其元素排列在一个长长的列向量中（对 A 中的列逐列从上到下进行索引），如下所示：

...

提示：MATLAB 采用列优先 - 线性索引逐列从上到下开始进行索引。

表达式 A(14) 只提取隐式列向量的第 14 个元素。以这种方式对只使用单下标的矩阵进行索引通常称为线性索引。右图中每个矩阵元素的左上角均显示线性索引。从图中可以看出，A(14) 等同于 A(2,4)。

单下标可以是包含多个线性索引的向量，如在以下示例中：

  A([6 12 15])
  ans =
      11   15   12

再次考虑只提取 A 的元素 (2,1)、(3,2) 和 (4,4)。您可以使用线性索引来提取这些元素。

  A([2 7 16])
  ans =
      5   7   1

此示例很容易理解，但一般情况下如何计算线性索引？MATLAB 提供了名为 sub2ind 的函数，用于将行下标和列下标转换为线性索引。您可以通过以下方式使用它来提取所需的元素：

  idx = sub2ind(size(A), [2 3 4], [1 2 4])
  ans =
      2   7   16
  A(idx)
  ans =
      5   7   1

逻辑索引

另一种索引变体是逻辑索引，它是一种紧凑而富有表现力的表示法，适用于包括图像处理在内的许多应用。在逻辑索引中，使用单个逻辑数组来表示矩阵下标。

您可以使用以下逻辑数组示例：

 A > 12

这些是矩阵中逻辑表达式为真的位置，在本例中是任何大于 12 的位置。表达式 A(A > 12) 提取对应于逻辑数组的非零值的矩阵元素。输出始终以列向量形式出现。

许多以 is 开头的 MATLAB 函数返回逻辑数组，对于逻辑索引非常有用。例如，通过在一行代码中结合使用 isnan、逻辑索引和标量扩展，可以将数组中的所有 NaN 元素替换为另一个值。

 B(isnan(B)) = 0

MATLAB 有许多返回逻辑数组的字符串数组函数，例如 contains、startsWith 和 matches。您可以使用这些函数对使用逻辑索引的文本进行操作。例如，您可以提取包含“Skylab”的所有太空计划名称

>> names

>> names(contains(names,"Skylab"))

逻辑索引与 find 函数密切相关。表达式 A(A > 5) 等效于 A(find(A > 5))。逻辑索引表达式在简单情况下执行速度更快，但如果您需要计算中的其他项的索引值，则可以使用 find 函数。例如，假设您要用零临时替换 NaN 值，执行一些计算，然后将 NaN 值放回其原始位置。在此示例中，计算是使用 filter2 进行二维过滤。您需要使用以下表达式：

  nan_locations = find(isnan(A)); 


  A(nan_locations) = 0; 


  A = filter2(ones(3,3), A); 


  A(nan_locations) = NaN;

我们希望本文中的这些示例能帮助您了解如何简洁高效地表达算法。在您的 MATLAB 编程中使用这些方法和相关函数使您能够创建简洁、可读和向量化的代码。

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