解读决策树与随机森林模型的概念

　　　　决策树，是机器学习中一种非常常见的分类方法，也可以说是所有算法中最直观也最好理解的算法。

　　有人找我借钱（当然不太可能。。。），借还是不借？我会结合根据我自己有没有钱、我自己用不用钱、对方信用好不好这三个特征来决定我的答案。

　　我们把转到更普遍一点的视角，对于一些有特征的数据，如果我们能够有这么一颗决策树，我们也就能非常容易地预测样本的结论。所以问题就转换成怎么求一颗合适的决策树，也就是怎么对这些特征进行排序。

　　在对特征排序前先设想一下，对某一个特征进行决策时，我们肯定希望分类后样本的纯度越高越好，也就是说分支结点的样本尽可能属于同一类别。

　　所以在选择根节点的时候，我们应该选择能够使得“分支结点纯度最高”的那个特征。在处理完根节点后，对于其分支节点，继续套用根节点的思想不断递归，这样就能形成一颗树。这其实也是贪心算法的基本思想。那怎么量化“纯度最高”呢？熵就当仁不让了，它是我们最常用的度量纯度的指标。其数学表达式如下：

　　

　　其中N表示结论有多少种可能取值，p表示在取第k个值的时候发生的概率，对于样本而言就是发生的频率/总个数。

　　熵越小，说明样本越纯。

　　以一个两点分布样本X（x=0或1）的熵的函数图像来说明吧，横坐标表示样本值为1的概率，纵坐标表示熵。

　　可以看到到当p（x=1）=0时，也就是说所有的样本都为0，此时熵为0.

　　当p（x=1）=1时，也就是说所有的样本都为1，熵也为0.

　　当p（x=1）=0.5时，也就是样本中0，1各占一半，此时熵能取得最大值。

　　扩展一下，样本X可能取值为n种（x1。。。。xn）。可以证明，当p（xi）都等于1/n 时，也就是样本绝对均匀，熵能达到最大。当p（xi）有一个为1，其他都为0时，也就是样本取值都是xi，熵最小。

　　决策树算法

　　ID3

　　假设在样本集X中，对于一个特征a，它可能有（a1，a2。。。an）这些取值，如果用特征a对样本集X进行划分（把它当根节点），肯定会有n个分支结点。刚才提了，我们希望划分后，分支结点的样本越纯越好，也就是分支结点的“总熵”越小越好。

　　因为每个分支结点的个数不一样，因此我们计算“总熵”时应该做一个加权，假设第i个结点样本个数为W（ai），其在所有样本中的权值为W（ai） / W（X）。所以我们可以得到一个总熵：

　　

　　这个公式代表含义一句话：加权后各个结点的熵的总和。这个值应该越小，纯度越高。

　　这时候，我们引入一个名词叫信息增益G（X，a），意思就是a这个特征给样本带来的信息的提升。公式就是：，由于H（X）对一个样本而言，是一个固定值，因此信息增益G应该越大越好。寻找使得信息增益最大的特征作为目标结点，并逐步递归构建树，这就是ID3算法的思想，好了以一个简单的例子来说明信息增益的计算：

　　

　　上面的例子，我计算一下特征1的信息增益

　　首先计算样本的熵H（X）

　　

　　再计算总熵，可以看到特征1有3个结点A、B、C，其分别为6个、6个、5个

　　所以A的权值为6/（6+6+5）， B的权值为6/（6+6+5）， C的为5/（6+6+5）

　　因为我们希望划分后结点的纯度越高越好，因此还需要再分别计算结点A、B、C的熵

　　特征1=A：3个是、3个否，其熵为

　　

　　特征1=B：2个是、4个否，其熵为

　　

　　特征1=C：4个是、1个否，其熵为

　　

　　这样分支结点的总熵就等于：

　　

　　特征1的信息增益就等于0.998-0.889=0.109

　　类似地，我们也能算出其他的特征的信息增益，最终取信息增益最大的特征作为根节点。

　　以上计算也可以有经验条件熵来推导：G（X，A）=H（X） - H（X|A），这部分有兴趣的同学可以了解一下。

　　C4.5

　　在ID3算法中其实有个很明显的问题。

　　如果有一个样本集，它有一个叫id或者姓名之类的（唯一的）的特征，那就完蛋了。设想一下，如果有n个样本，id这个特征肯定会把这个样本也分成n份，也就是有n个结点，每个结点只有一个值，那每个结点的熵就为0。就是说所有分支结点的总熵为0，那么这个特征的信息增益一定会达到最大值。因此如果此时用ID3作为决策树算法，根节点必然是id这个特征。但是显然这是不合理的。。。

　　当然上面说的是极限情况，一般情况下，如果一个特征对样本划分的过于稀疏，这个也是不合理的（换句话就是，偏向更多取值的特征）。为了解决这个问题，C4.5算法采用了信息增益率来作为特征选取标准。

　　所谓信息增益率，是在信息增益基础上，除了一项split information，来惩罚值更多的属性。

　　

　　而这个split information其实就是特征个数的熵H（A）。

　　为什么这样可以减少呢，以上面id的例子来理解一下。如果id把n个样本分成了n份，那id这个特征的取值的概率都是1/n，文章引言已经说了，样本绝对均匀的时候，熵最大。

　　因此这种情况，以id为特征，虽然信息增益最大，但是惩罚因子split information也最大，以此来拉低其增益率，这就是C4.5的思想。

　　CART

　　决策树的目的最终还是寻找到区分样本的纯度的量化标准。在CART决策树中，采用的是基尼指数来作为其衡量标准。基尼系数直观的理解是，从集合中随机抽取两个样本，如果样本集合越纯，取到不同样本的概率越小。这个概率反应的就是基尼系数。

　　因此如果一个样本有K个分类。假设样本的某一个特征a有n个取值的话，其某一个结点取到不同样本的概率为：

　　因此k个分类的概率总和，我们称之为基尼系数：

　　

　　而基尼指数，则是对所有结点的基尼系数进行加权处理

　　

　　计算出来后，我们会选择基尼系数最小的那个特征作为最优划分特征。

　　剪枝

　　剪枝的目的其实就是防止过拟合，它是决策树防止过拟合的最主要手段。决策树中，为了尽可能争取的分类训练样本，所以我们的决策树也会一直生长。但是呢，有时候训练样本可能会学的太好，以至于把某些样本的特有属性当成一般属性。这时候就我们就需要主动去除一些分支，来降低过拟合的风险。

　　剪枝一般有两种方式：预剪枝和后剪枝。

　　预剪枝

　　一般情况下，只要结点样本已经100%纯了，树才会停止生长。但这个可能会产生过拟合，因此我们没有必要让它100%生长，所以在这之前，设定一些终止条件来提前终止它。这就叫预剪枝，这个过程发生在决策树生成之前。

　　一般我们预剪枝的手段有：

　　1、限定树的深度

　　2、节点的子节点数目小于阈值

　　3、设定结点熵的阈值等等。

　　后剪枝

　　顾名思义，这个剪枝是在决策树建立过程后。后剪枝算法的算法很多，有些也挺深奥，这里提一个简单的算法的思想，就不深究啦。

　　Reduced-Error Pruning （REP）

　　该剪枝方法考虑将树上的每个节点都作为修剪的候选对象，但是有一些条件决定是否修剪，通常有这几步：

　　1、删除其所有的子树，使其成为叶节点。

　　2、赋予该节点最关联的分类

　　3、用验证数据验证其准确度与处理前比较

　　如果不比原来差，则真正删除其子树。然后反复从下往上对结点处理。这个处理方式其实是处理掉那些“有害”的节点。

　　随机森林

　　随机森林的理论其实和决策树本身不应该牵扯在一起，决策树只能作为其思想的一种算法。

　　为什么要引入随机森林呢。我们知道，同一批数据，我们只能产生一颗决策树，这个变化就比较单一了。还有要用多个算法的结合呢？

　　这就有了集成学习的概念。

　　

　　图中可以看到，每个个体学习器（弱学习器）都可包含一种算法，算法可以相同也可以不同。如果相同，我们把它叫做同质集成，反之则为异质。

　　随机森林则是集成学习采用基于bagging策略的一个特例。

　　

　　从上图可以看出，bagging的个体学习器的训练集是通过随机采样得到的。通过n次的随机采样，我们就可以得到n个样本集。对于这n个样本集，我们可以分别独立的训练出n个个体学习器，再对这n个个体学习器通过集合策略来得到最终的输出，这n个个体学习器之间是相互独立的，可以并行。

　　注：集成学习还有另一种方式叫boosting，这种方式学习器之间存在强关联，有兴趣的可以了解下。

　　随机森林采用的采样方法一般是是Bootstap sampling，对于原始样本集，我们每次先随机采集一个样本放入采样集，然后放回，也就是说下次采样时该样本仍有可能被采集到，经过一定数量的采样后得到一个样本集。由于是随机采样，这样每次的采样集是和原始样本集不同的，和其他采样集也是不同的，这样得到的个体学习器也是不同的。

　　随机森林最主要的问题是有了n个结果，怎么设定结合策略，主要方式也有这么几种：

　　加权平均法：

　　平均法常用于回归。做法就是，先对每个学习器都有一个事先设定的权值wi，

　　

　　然后最终的输出就是：

　　

　　当学习器的权值都为1/n时，这个平均法叫简单平均法。

　　投票法：

　　投票法类似我们生活中的投票，如果每个学习器的权值都是一样的。

　　那么有绝对投票法，也就是票数过半。相对投票法，少数服从多数。

　　如果有加权，依然是少数服从多数，只不过这里面的数是加权后的。

　　例子

　　以一个简单的二次函数的代码来看看决策树怎么用吧。

　　训练数据是100个随机的真实的平方数据，不同的深度将会得到不同的曲线

　　测试数据也是随机数据，但是不同深度的树的模型，产生的预测值也不太一样。如图

　　这幅图的代码如下：

　　我的是python 3.6环境，需要安装numpy、matplotlib、sklearn这三个库，需要的话直接pip install，大家可以跑跑看看，虽然简单但挺有趣。