卡尔曼滤波原理及算法

　　卡尔曼滤波的工作原理

　　在学习卡尔曼滤波器之前，首先看看为什么叫“卡尔曼”。跟其他著名的理论（例如傅立叶变换，泰勒级数等等）一样，卡尔曼也是一个人的名字，而跟他们不同的是，他是个现代人！

　　卡尔曼全名Rudolf Emil Kalman，匈牙利数学家，1930年出生于匈牙利首都布达佩斯。1953，1954年于麻省理工学院分别获得电机工程学士及硕士学位。1957年于哥伦比亚大学获得博士学位。我们现在要学习的卡尔曼滤波器，正是源于他的博士论文和1960年发表的论文《A New Approach to Linear Filtering and Prediction Problems》（线性滤波与预测问题的新方法）。

　　简单来说，卡尔曼滤波器是一个“optimal recursive data processing algorithm（最优化自回归数据处理算法）”。对于解决很大部分的问题，他是最优，效率最高甚至是最有用的。他的广泛应用已经超过30年，包括机器人导航，控制，传感器数据融合甚至在军事方面的雷达系统以及导弹追踪等等。近年来更被应用于计算机图像处理，例如头脸识别，图像分割，图像边缘检测等等。

　　

　　卡尔曼滤波的算法

　　卡尔曼滤波器算法 ：

　　在这一部分，我们就来描述源于Dr Kalman 的卡尔曼滤波器。下面的描述，会涉及一些基本的概念知识，包括概率（Probability），随机变量（Random Variable），高斯或正态分配（Gaussian Distribution）还有State-space Model等等。但对于卡尔曼滤波器的详细证明，这里不能一一描述。

　　首先，我们先要引入一个离散控制过程的系统。该系统可用一个线性随机微分方程（Linear Stochastic Difference equation）来描述：

　　X（k）=A X（k-1）+B U（k）+W（k）

　　再加上系统的测量值：

　　Z（k）=H X（k）+V（k）

　　上两式子中，X（k）是k时刻的系统状态，U（k）是k时刻对系统的控制量。A和B是系统参数，对于多模型系统，他们为矩阵。Z（k）是k时刻的测量值，H是测量系统的参数，对于多测量系统，H为矩阵。W（k）和V（k）分别表示过程和测量的噪声。他们被假设成高斯白噪声（White Gaussian Noise），他们的协方差（covariance）分别是Q，R（这里我们假设他们不随系统状态变化而变化）。

　　对于满足上面的条件（线性随机微分系统，过程和测量都是高斯白噪声），卡尔曼滤波器是最优的信息处理器。下面我们结合他们的协方差来估算系统的最优化输出（类似上一节那个温度的例子）。

　　首先我们要利用系统的过程模型，来预测下一状态的系统。假设现在的系统状态是k，根据系统的模型，可以基于系统的上一状态而预测出现在状态：

　　X（k|k-1）=A X（k-1|k-1）+B U（k） ………。。 （1）

　　式（1）中，X（k|k-1）是利用上一状态预测的结果，X（k-1|k-1）是上一状态最优的结果，U（k）为现在状态的控制量，如果没有控制量，它可以为0。

　　到现在为止，我们的系统结果已经更新了，可是，对应于X（k|k-1）的协方差还没更新。我们用P表示协方差（covariance）：

　　P（k|k-1）=A P（k-1|k-1） A’+Q ……… （2）

　　式（2）中，P（k|k-1）是X（k|k-1）对应的协方差，P（k-1|k-1）是X（k-1|k-1）对应的协方差，A’表示A的转置矩阵，Q是系统过程的协方差。式子1，2就是卡尔曼滤波器5个公式当中的前两个，也就是对系统的预测。

　　现在我们有了现在状态的预测结果，然后我们再收集现在状态的测量值。结合预测值和测量值，我们可以得到现在状态（k）的最优化估算值X（k|k）：

　　X（k|k）= X（k|k-1）+Kg（k） （Z（k）-H X（k|k-1）） ……… （3）

　　其中Kg为卡尔曼增益（Kalman Gain）：

　　Kg（k）= P（k|k-1） H’ / （H P（k|k-1） H’ + R） ……… （4）

　　到现在为止，我们已经得到了k状态下最优的估算值X（k|k）。但是为了要令卡尔曼滤波器不断的运行下去直到系统过程结束，我们还要更新k状态下X（k|k）的协方差：

　　P（k|k）=（I-Kg（k） H）P（k|k-1） ……… （5）

　　其中I 为1的矩阵，对于单模型单测量，I=1。当系统进入k+1状态时，P（k|k）就是式子（2）的P（k-1|k-1）。这样，算法就可以自回归的运算下去。

　　卡尔曼滤波器的原理基本描述了，式子1，2，3，4和5就是他的5 个基本公式。根据这5个公式，可以很容易用计算机编程实现。

　　在上面的例子中，过程误差和测量误差设定为4是为了讨论的方便。实际中，温度的变化速度以及温度计的测量误差都没有这么大。