rsa加密算法详解与举例说明

　　RSA公钥加密算法是1977年由罗纳德·李维斯特（Ron Rivest）、阿迪·萨莫尔（Adi Shamir）和伦纳德·阿德曼（Leonard Adleman）一起提出的。1987年7月首次在美国公布，当时他们三人都在麻省理工学院工作实习。RSA就是他们三人姓氏开头字母拼在一起组成的。RSA是目前最有影响力和最常用的公钥加密算法，它能够抵抗到目前为止已知的绝大多数密码攻击，已被ISO推荐为公钥数据加密标准。

　　今天只有短的RSA钥匙才可能被强力方式解破。到2008年为止，世界上还没有任何可靠的攻击RSA算法的方式。只要其钥匙的长度足够长，用RSA加密的信息实际上是不能被解破的。但在分布式计算和量子计算机理论日趋成熟的今天，RSA加密安全性受到了挑战和质疑。RSA算法基于一个十分简单的数论事实：将两个大质数相乘十分容易，但是想要对其乘积进行因式分解却极其困难，因此可以将乘积公开作为加密密钥。

　　

　　安全性

　　RSA的安全性依赖于大数分解，但是否等同于大数分解一直未能得到理论上的证明，因为没有证明破解RSA就一定需要作大数分解。假设存在一种无须分解大数的算法，那它肯定可以修改成为大数分解算法。 RSA 的一些变种算法已被证明等价于大数分解。不管怎样，分解n是最显然的攻击方法。人们已能分解多个十进制位的大素数。因此，模数n必须选大一些，因具体适用情况而定。

　　实现细节

　　密钥生成

　　首先要使用概率算法来验证随机产生的大的整数是否质数，这样的算法比较快而且可以消除掉大多数非质数。假如有一个数通过了这个测试的话，那么要使用一个精确的测试来保证它的确是一个质数。

　　除此之外这样找到的p和q还要满足一定的要求，首先它们不能太靠近，此外p-1或q-1的因子不能太小，否则的话N也可以被很快地分解。

　　此外寻找质数的算法不能给攻击者任何信息，这些质数是怎样找到的，尤其产生随机数的软件必须非常好。要求是随机和不可预测。这两个要求并不相同。一个随机过程可能可以产生一个不相关的数的系列，但假如有人能够预测出（或部分地预测出）这个系列的话，那么它就已经不可靠了。比如有一些非常好的随机数算法，但它们都已经被发表，因此它们不能被使用，因为假如一个攻击者可以猜出p和q一半的位的话，那么他们就已经可以轻而易举地推算出另一半。

　　此外密钥d必须足够大，1990年有人证明假如p大于q而小于2q（这是一个很经常的情况）而，那么从N和e可以很有效地推算出d。此外e = 2永远不应该被使用。

　　运算速度

　　由于进行的都是大数计算，使得RSA最快的情况也比DES慢上好几倍，无论是软件还是硬件实现。速度一直是RSA的缺陷。一般来说只用于少量数据加密。RSA的速度比对应同样安全级别的对称密码算法要慢1000倍左右。

　　比起DES和其它对称算法来说，RSA要慢得多。实际上Bob一般使用一种对称算法来加密他的信息，然后用RSA来加密他的比较短的对称密码，然后将用RSA加密的对称密码和用对称算法加密的消息送给Alice。

　　这样一来对随机数的要求就更高了，尤其对产生对称密码的要求非常高，因为否则的话可以越过RSA来直接攻击对称密码。

　　密钥分配

　　和其它加密过程一样，对RSA来说分配公钥的过程是非常重要的。分配公钥的过程必须能够抵挡一个从中取代的攻击。假设Eve交给Bob一个公钥，并使Bob相信这是Alice的公钥，并且她可以截下Alice和Bob之间的信息传递，那么她可以将她自己的公钥传给Bob，Bob以为这是Alice的公钥。Eve可以将所有Bob传递给Alice的消息截下来，将这个消息用她自己的密钥解密，读这个消息，然后将这个消息再用Alice的公钥加密后传给Alice。理论上Alice和Bob都不会发现Eve在偷听他们的消息。今天人们一般用数字认证来防止这样的攻击。

　　时间攻击

　　1995年有人提出了一种非常意想不到的攻击方式：假如Eve对Alice的硬件有充分的了解，而且知道它对一些特定的消息加密时所需要的时间的话，那么她可以很快地推导出d。这种攻击方式之所以会成立，主要是因为在进行加密时所进行的模指数运算是一个位元一个位元进行的而位元为1所花的运算比位元为0的运算要多很多，因此若能得到多组讯息与其加密时间，就会有机会可以反推出私钥的内容。

　　分解 从而在已知n d的情况下无法获得e；同样在已知n e的情况下无法 求得d。

　　实践：

　　接下来我们来一个实践，看看实际的操作： 找两个素数： p=47 q=59 这样 n=p*q=2773 t=（p-1）*（q-1）=2668 取e=63，满足e《t并且e和t互素 用perl简单穷举可以获得满主 e*d%t ==1的数d： C：\Temp》perl -e “foreach $i （1..9999）{ print（$i），last if $i*63&68==1 }” 847 即d＝847

　　最终我们获得关键的 n=2773 d=847 e=63

　　取消息M=244我们看看

　　加密：

　　c=M**d%n = 244**847‘73 用perl的大数计算来算一下： C：\Temp》perl -Mbigint -e “print 244**847’73” 465 即用d对M加密后获得加密信息c＝465

　　解密：

　　我们可以用e来对加密后的c进行解密，还原M： m=c**e%n=465**63‘73 ： C：\Temp》perl -Mbigint -e “print 465**63’73” 244 即用e对c解密后获得m=244 ， 该值和原始信息M相等。