rsa公钥加密算法原理分析

　　什么是RSA算法

　　RSA公钥加密算法是1977年由罗纳德·李维斯特（Ron Rivest）、阿迪·萨莫尔（Adi Shamir）和伦纳德·阿德曼（Leonard Adleman）一起提出的。1987年7月首次在美国公布，当时他们三人都在麻省理工学院工作实习。RSA就是他们三人姓氏开头字母拼在一起组成的。

　　RSA是目前最有影响力和最常用的公钥加密算法，它能够抵抗到目前为止已知的绝大多数密码攻击，已被ISO推荐为公钥数据加密标准。

　　今天只有短的RSA钥匙才可能被强力方式解破。到2008年为止，世界上还没有任何可靠的攻击RSA算法的方式。只要其钥匙的长度足够长，用RSA加密的信息实际上是不能被解破的。但在分布式计算和量子计算机理论日趋成熟的今天，RSA加密安全性受到了挑战和质疑。

　　RSA算法基于一个十分简单的数论事实：将两个大质数相乘十分容易，但是想要对其乘积进行因式分解却极其困难，因此可以将乘积公开作为加密密钥。

　　基本含义

　　RSA公开密钥密码体制。所谓的公开密钥密码体制就是使用不同的加密密钥与解密密钥，是一种“由已知加密密钥推导出解密密钥在计算上是不可行的”密码体制。

　　在公开密钥密码体制中，加密密钥（即公开密钥）PK是公开信息，而解密密钥（即秘密密钥）SK是需要保密的。加密算法E和解密算法D也都是公开的。虽然解密密钥SK是由公开密钥PK决定的，但却不能根据PK计算出SK。

　　正是基于这种理论，1978年出现了著名的RSA算法，它通常是先生成一对RSA 密钥，其中之一是保密密钥，由用户保存；另一个为公开密钥，可对外公开，甚至可在网络服务器中注册。为提高保密强度，RSA密钥至少为500位长，一般推荐使用1024位。这就使加密的计算量很大。为减少计算量，在传送信息时，常采用传统加密方法与公开密钥加密方法相结合的方式，即信息采用改进的DES或IDEA对话密钥加密，然后使用RSA密钥加密对话密钥和信息摘要。对方收到信息后，用不同的密钥解密并可核对信息摘要。

　　RSA算法是第一个能同时用于加密和数字签名的算法，也易于理解和操作。RSA是被研究得最广泛的公钥算法，从提出到现今的三十多年里，经历了各种攻击的考验，逐渐为人们接受，截止2017年被普遍认为是最优秀的公钥方案之一。

　　RSA加密算法原理

　　RSA加密算法中，只用到素数、互质数、指数运算、模运算等几个简单的数学知识。所以，我们也需要了解这几个概念即可。

　　素数

　　素数又称质数，指在一个大于1的自然数中，除了1和此整数自身外，不能被其他自然数整除的数。这个概念，我们在上初中，甚至小学的时候都学过了，这里就不再过多解释了。

　　互质数

　　百度百科上的解释是：公因数只有1的两个数，叫做互质数。；维基百科上的解释是：互质，又称互素。若N个整数的最大公因子是1，则称这N个整数互质。

　　常见的互质数判断方法主要有以下几种：

　　两个不同的质数一定是互质数。例如，2与7、13与19。

　　一个质数，另一个不为它的倍数，这两个数为互质数。例如，3与10、5与 26。

　　相邻的两个自然数是互质数。如 15与 16。

　　相邻的两个奇数是互质数。如 49与 51。

　　较大数是质数的两个数是互质数。如97与88。

　　小数是质数，大数不是小数的倍数的两个数是互质数。例如 7和 16。

　　2和任何奇数是互质数。例如2和87。

　　1不是质数也不是合数，它和任何一个自然数在一起都是互质数。如1和9908。

　　辗转相除法。

　　指数运算

　　指数运算又称乘方计算，计算结果称为幂。nm指将n自乘m次。把nm看作乘方的结果，叫做”n的m次幂”或”n的m次方”。其中，n称为“底数”，m称为“指数”。

　　模运算

　　模运算即求余运算。“模”是“Mod”的音译。和模运算紧密相关的一个概念是“同余”。数学上，当两个整数除以同一个正整数，若得相同余数，则二整数同余。

　　两个整数a，b，若它们除以正整数m所得的余数相等，则称a，b对于模m同余，记作： a ≡ b （mod m）；读作：a同余于b模m，或者，a与b关于模m同余。例如：26 ≡ 14 （mod 12）。

　　RSA加密算法

　　RSA加密算法简史

　　RSA是1977年由罗纳德·李维斯特（Ron Rivest）、阿迪·萨莫尔（Adi Shamir）和伦纳德·阿德曼（Leonard Adleman）一起提出的。当时他们三人都在麻省理工学院工作。RSA就是他们三人姓氏开头字母拼在一起组成的。

　　公钥与密钥的产生

　　假设Alice想要通过一个不可靠的媒体接收Bob的一条私人讯息。她可以用以下的方式来产生一个公钥和一个私钥：

　　随意选择两个大的质数p和q，p不等于q，计算N=pq。

　　根据欧拉函数，求得r = （p-1）（q-1）

　　选择一个小于 r 的整数 e，求得 e 关于模 r 的模反元素，命名为d。（模反元素存在，当且仅当e与r互质）

　　将 p 和 q 的记录销毁。

　　（N，e）是公钥，（N，d）是私钥。Alice将她的公钥（N，e）传给Bob，而将她的私钥（N，d）藏起来。

　　加密消息

　　假设Bob想给Alice送一个消息m，他知道Alice产生的N和e。他使用起先与Alice约好的格式将m转换为一个小于N的整数n，比如他可以将每一个字转换为这个字的Unicode码，然后将这些数字连在一起组成一个数字。假如他的信息非常长的话，他可以将这个信息分为几段，然后将每一段转换为n。用下面这个公式他可以将n加密为c：

　　ne ≡ c （mod N）

　　计算c并不复杂。Bob算出c后就可以将它传递给Alice。

　　解密消息

　　Alice得到Bob的消息c后就可以利用她的密钥d来解码。她可以用以下这个公式来将c转换为n：

　　cd ≡ n （mod N）

　　得到n后，她可以将原来的信息m重新复原。

　　解码的原理是：

　　cd ≡ n e·d（mod N）

　　以及ed ≡ 1 （mod p-1）和ed ≡ 1 （mod q-1）。由费马小定理可证明（因为p和q是质数）

　　n e·d ≡ n （mod p） 　　和 　n e·d ≡ n （mod q）

　　这说明（因为p和q是不同的质数，所以p和q互质）

　　n e·d ≡ n （mod pq）

　　签名消息

　　RSA也可以用来为一个消息署名。假如甲想给乙传递一个署名的消息的话，那么她可以为她的消息计算一个散列值（Message digest），然后用她的密钥（private key）加密这个散列值并将这个“署名”加在消息的后面。这个消息只有用她的公钥才能被解密。乙获得这个消息后可以用甲的公钥解密这个散列值，然后将这个数据与他自己为这个消息计算的散列值相比较。假如两者相符的话，那么他就可以知道发信人持有甲的密钥，以及这个消息在传播路径上没有被篡改过。

　　编程实践

　　下面，开始我们的重点环节：编程实践。在开始编程前，我们通过计算，来确定公钥和密钥。

　　计算公钥和密钥

　　假设p = 3、q = 11（p，q都是素数即可。），则N = pq = 33；

　　r = （p-1）（q-1） = （3-1）（11-1） = 20；

　　根据模反元素的计算公式，我们可以得出，e·d ≡ 1 （mod 20），即e·d = 20n+1 （n为正整数）；我们假设n=1，则e·d = 21。e、d为正整数，并且e与r互质，则e = 3，d = 7。（两个数交换一下也可以。）

　　到这里，公钥和密钥已经确定。公钥为（N， e） = （33， 3），密钥为（N， d） = （33， 7）。

　　编程实现

　　下面我们使用Java来实现一下加密和解密的过程。具体代码如下：

　　RSA算法实现：

　　［java］ view plaincopy《span style=“font-size:14px;”》package security.rsa;

　　public class RSA {

　　/**

　　* 加密、解密算法

　　* @param key 公钥或密钥

　　* @param message 数据

　　* @return

　　*/

　　public static long rsa（int baseNum， int key， long message）{

　　if（baseNum 《 1 || key 《 1）{

　　return 0L;

　　}

　　//加密或者解密之后的数据

　　long rsaMessage = 0L;

　　//加密核心算法

　　rsaMessage = Math.round（Math.pow（message， key）） % baseNum;

　　return rsaMessage;

　　}

　　public static void main（String［］ args）{

　　//基数

　　int baseNum = 3 * 11;

　　//公钥

　　int keyE = 3;

　　//密钥

　　int keyD = 7;

　　//未加密的数据

　　long msg = 24L;

　　//加密后的数据

　　long encodeMsg = rsa（baseNum， keyE， msg）;

　　//解密后的数据

　　long decodeMsg = rsa（baseNum， keyD， encodeMsg）;

　　System.out.println（“加密前：” + msg）;

　　System.out.println（“加密后：” + encodeMsg）;

　　System.out.println（“解密后：” + decodeMsg）;

　　}

　　《/span》

　　}

　　RSA算法结果：

　　加密前：24

　　加密后：30

　　解密后：24

　　（看程序最清楚了，对于要加密的数字m， m^e%N=c， c就是加密之后的密文。c^d%N=m， 就能解密得到m）

　　RSA加密算法的安全性

　　当p和q是一个大素数的时候，从它们的积pq去分解因子p和q，这是一个公认的数学难题。然而，虽然RSA的安全性依赖于大数的因子分解，但并没有从理论上证明破译RSA的难度与大数分解难度等价。

　　1994年彼得·秀尔（Peter Shor）证明一台量子计算机可以在多项式时间内进行因数分解。假如量子计算机有朝一日可以成为一种可行的技术的话，那么秀尔的算法可以淘汰RSA和相关的衍生算法。（即依赖于分解大整数困难性的加密算法）

　　另外，假如N的长度小于或等于256位，那么用一台个人电脑在几个小时内就可以分解它的因子了。1999年，数百台电脑合作分解了一个512位长的N。1997年后开发的系统，用户应使用1024位密钥，证书认证机构应用2048位或以上。

　　RSA加密算法的缺点

　　虽然RSA加密算法作为目前最优秀的公钥方案之一，在发表三十多年的时间里，经历了各种攻击的考验，逐渐为人们接受。但是，也不是说RSA没有任何缺点。由于没有从理论上证明破译RSA的难度与大数分解难度的等价性。所以，RSA的重大缺陷是无法从理论上把握它的保密性能如何。在实践上，RSA也有一些缺点：

　　产生密钥很麻烦，受到素数产生技术的限制，因而难以做到一次一密；

　　分组长度太大，为保证安全性，n 至少也要 600 bits 以上，使运算代价很高，尤其是速度较慢。

　　公钥加密算法举例——RSA公钥加密

　　RSA公钥加密算法是目前使用最广泛的公钥加密算法。对于某一明文块M和密文块C，加密和解密有如下的形式：

　　发送者和接收者都必须知道n和e的值，并且只有接收者知道d的值。RSA公钥加密算法的公钥KU={e，n}，私钥KR={d，n}。

　　该算法的步骤如下表：

　　开始时选择两个素数p和q，计算它们的积n作为加密和解密时的模。接着计算n的欧拉函数值φ（n）。φ（n）表示小于n且与n互素的正整数的个数。然后选择与φ（n）互素的整数e。最后，计算e关于模φ（n）的乘法逆元d。

　　举例：假设用户A已经公布了他的公钥，且用户B希望给A发送消息M。那么B计算C=Me （mod n）并且发送C。当接收到密文时，用户A通过计算M=Cd （mod n）解密密文。按下列步骤生成密钥

　　（1）选择两个素数：p=17和q=11。

　　（2）计算n=pq=17*11=187。

　　（3）计算φ（n）=（p-1）（q-1）=16*10=160。

　　（4）选择e，使得e与φ（n）=160互素且小于φ（n），我们选择e=7。

　　（5）计算d，使得de mod 160=1且d《160。正确的值是d=23，

　　这是因为23*7=161=10*16+1。这样我们就得到公钥PU={7，187}，私钥PR={23，187}。下面说明输入明文M=88时密钥的使用情况。

　　对于加密，计算C=887 mod 187=11。

　　对于解密，计算M=1123 mod 187=88