线性反馈移位寄存器原理与实现

　　线性反馈移位寄存器（linear feedback shift register， LFSR）是指，给定前一状态的输出，将该输出的线性函数再用作输入的移位寄存器。异或运算是最常见的单比特线性函数：对寄存器的某些位进行异或操作后作为输入，再对寄存器中的各比特进行整体移位。

　　线性反馈移位寄存器（LFSR）是一个产生二进制位序列的机制。这个寄存器由一个初始化矢量设置的一系列信元组成，最常见的是，密钥。这个寄存器的行为被一个时钟调节。在每个定时时刻，这个寄存器信元的内容被移动到一个正确的位置，这个排外的或这个信元子集内的内容被放在最左边的信元中。输出的一个位通常来自整个更新程序。LFSRs的应用包括产生伪随机数字，伪噪声序列，快速数字计算器和灰数序列。LFSRs软件和硬件的执行是相同的。

　　一个n阶的LFSR由n个触发器和若干个异或门组成。在实际应用当中，主要用到两种类型的LFSR，即异或门外接线性反馈移位寄存器（IE型LFSR，图1）和异或门内接线性反馈移位寄存器（EE型LFSR，图2）。其中g0 g1 g2 gn为’0’或’1’， Q1 Q2 Q3 Qn为LFSR的输出，M（x）是输入的码字多项式，如M（x）=x4+ x1+ 1，表示输入端的输入顺序为11001，同样，LFSR的结构也可以表示为多项式G（x），称为生成多项式：

　　G（x）= gn*xn+ …+g1*x1+ g0；

　　

　　以EE型LFSR为例来分析LFSR的工作原理以应用

　　以n = 3 来做个例子，具体的电路图如图3所示：

　　

　　假设开始的时候（D2，D1，D0 ） = （0，0，1），那么每过一个时钟周期会进行跳变一次，可以看到具体的跳变如图4所示：

　

　　然后我们可以看到这个计数器循环起来了，无论进入那样一个状态除了0之外，都可以循环着回来，其实这里就相当于了一个3bit的伪随机数，很有意思，不是所有的多项式都有这个特性，我们现在在从数学上面来看看这个问题，其实最上面的电路是可以看成是一个除法电路，在Galois域的一个除法电路。现在假设的是R（x）是寄存器中剩余的数据，M（x）是输入的码字多项式，然后数学公式可以表示成：

　　

　　然后分别计算出了Ｍ（ｘ）的各种情况，

　　

　　对于这个部分的计算我开始走进了误区，因为开始我把这的除法当作二进制除法来算了，所以一直没得到正确的结果，后来我明白了这的除法是模二的除法，在LFSR的结果中，多项式中的“+”都是模2加，就是异或运算，所以是没有进位的概念；同样，这里的除法秀的也是模2除法，即除法过程中用到的减法是模2减法，是不会产生加法进位和减法借位的运算，所以在进行模2除法时，只要部分余数首位为1，便可上商1，否则上商0，然后按照模2减法求得余数，当被除数被除完时，最后得到比除数少一位的余数。

　　这里用一个例子说明一下，比如M（x）=x7时，R（x）=1;模2的计算公式如下：

　

　　所以这里一定要区别模2和二进制数之间的运算的区别。

　　M（x）和R（x）到底是什么意义呢？

　　比如M（x）=1时，R（x）=1，指的就是当M（x）输入一个1时，这时的R（x）为1，即寄存器剩余的数为001，即Q1=1，Q2=0，Q3=0。

　　又M（x）=x时，R（x）=x，指的就是当M（x）顺序输入1，0时，这时的R（x）为x，即寄存器剩余的数为010，即Q1=0，Q2=1，Q3=0。

　　同理，可以知道，当M（x）=x6时，R（x）=x2+1，指的就是当M（x）顺序输入1，0，0，0，0，0，0时，这时的R（x）为x2+1，即寄存器剩余的数为010，即Q1=1，Q2=0，Q3=1。

　　可以看出，当第一个时钟时输入端输入一个1时，以后保持输入端为0，则随着时钟的到来，输入码字多项式就是按照1，x，x2，x3，x4，x5，x6，x7，…，xn这样的顺序发展着，观察前六个输入的R（x）分别对应的输出为：001，010，100，011，101，111，101，111，刚好为除去000的其他七个状态，当M（x）为x7时，输出又回来001，所以输出一直这样循环下去，因此LFSR可以用来BIST的伪随机测试码产生器。

　　线性反馈移位寄存器的实现

　　1、写出n阶线性反馈移位寄存器的实现过程

　　2、假设一个GF（2）上的5阶线性反馈移位寄存器的反馈函数为

　　f（x1，x2，x3，x4，x5）=x1+x5

　　初始状态为10011，试写出该线性反馈移位寄存器的输出序列

　　程序：

        #include《iostream》

　　#include《math.h》

　　using namespace std;

　　void GF（int a，int n）

　　{

　　int b;

　　for（int i=1;i《32;i++）

　　{

　　cout《《（a&1）;

　　b=a&1^（（a》》4）&1）;

　　a=a》》1^（b《《4）;

　　}

　　}

　　int main（）

　　{

　　int a=0，b;

　　int n;

　　cout《《“请输入线性移位寄存器的阶数：”;

　　cin》》n;

　　cout《《“请输入初始状态：”;

　　for（int i=1;i《=n;i++）

　　{

　　cin》》b;

　　a=a^（b《《（i-1））;

　　}

　　cout《《“输出序列为：”;

　　GF（a，n）;

　　cout《《endl;

　　return 0;

　　}

　　运行结果：