小波去噪方法及步骤_小波去噪方法的比较

本文主要介绍小波分解与重构法、非线性小波变换阈值法、平移不变量小波法以及小波变换模极大值法这4种常用的小波去噪方法。将它们分别用于仿真算例的去噪处理，并对这几种方法的应用场合、去噪性能、计算速度和影响因素等方面进行比较。

选择了Matlab软件中的仿真信号Blocks作为原始信号，信号长度（即采样点数）N=2048，如图1a所示。由于该信号中含有若干不连续点和奇异点，因此用以下几种方法对图1b中叠加了高斯白噪声的Blocks信号（信噪比为7）进行去噪处理，能够很清楚地比较出这几种方法的去噪性能。

图1  原始信号和含噪信号的时域波形

一、小波去噪方法

1、小波分解与重构法去噪

小波分解与重构的快速算法，即Mallet算法。据这一算法，若fk为信号f（t）的离散采样数据，fk=c0，k，则信号f（t）的正交小波变换分解公式为：

其中，cj，k为尺度系数;dj，k为小波系数;h、g为一对正交镜像滤波器组（QMF）;j为分解层数;N为离散采样点数。

小波重构过程是分解过程的逆运算，相应的重构公式为：

小波的多分辨分析特性能将信号在不同尺度下进行多分辨率的分解，并将交织在一起的各种不同频率组成的混合信号分解成不同频段的子信号，因而对信号具有按频带处理的能力。应用小波分解与重构的方法去噪具体步骤是：根据需要，将含有噪声信号在某一尺度下分解到不同的频带内，然后再将噪声所处的频带置零（或直接提取有用信号所在的频带），进行小波重构，从而达到去噪的目的。

图2是用小波分解与重构法进行去噪的结果。采用的小波是近似对称的Symmlet8小波，小波分解层数是4，其中图2a是将图1b中的含噪信号进行4层小波分解的结果。从中可以看出，信号的能量主要集中于低频的少数小波系数上，而噪声的能量则分散于整个小波变换域。图2b是提取图2a中的前256个小波系数进行重构，也就是提取尺度4上的低频系数和高频系数进行重构的结果。

图2  小波分解与重构法去噪

2、非线性小波变换阈值法去噪

非线性小波变换阈值法也称为“小波收缩”（waveletshrinkage），其去噪方法如下：

假设一个叠加了高斯白噪声的有限长信号可以表示为

其中，zi是一个标准的高斯白噪声，即z～N（0，1），R是噪声级。若要从被噪声污染的信号yi中恢复出原始信号xi，则Donoho的去噪方法分为以下3个步骤：

（1）计算含噪声信号的正交小波变换。选择合适的小波和小波分解层数j，将含噪信号运用（1）式进行小波分解至j层，得到相应的小波分解系数。

（2）对分解得到的小波系数进行阈值处理，其阈值的处理方法有2种：

（3）进行小波逆变换。将经阈值处理过的小波系数用（2）式重构，得到恢复的原始信号估计值xd。

小波变换具有一种“集中”的能力，它能将信号的能量集中到少数小波系数上;而白噪声在任何正交

基上的变换仍然是白噪声，并且有着相同的幅度。相对来说，信号的小波系数值必然大于那些能量分散且幅值较小的噪声的小波系数值。选择一个合适的阈值，对小波系数进行阈值处理，就可以达到去除噪声而保留有用信号的目的。该方法能得到原始信号的近似最优估计，并且具有非常广泛的适应性。

图3和图4分别是采用Donoho的非线性小波变换阈值法以及平移不变量小波法去噪得到的结果。这2种方法均选用Haar小波，小波分解层数是5。二者均采用软阈值，阈值大小t=2log（N），其中N为信号长度。

图3  软阈值法去噪

图4  平移不变量小波法去噪

3、平移不变量小波去噪

平移不变量小波去噪法是在阈值法基础上的改进。虽然用阈值法能取得很好的去噪效果，但在有些情况下，如在信号的不连续邻域，阈值法去噪会表现出视觉上的非自然信号，如伪吉布斯现象，即不连续点附近的信号会在一个特定的目标水平上下跳变。利用平移不变量法去噪，则可有效地抑制这种现象。其方法是：对含噪声信号进行n次循环平移，对平移后的信号进行的阈值法去噪处理，然后再对去噪的结果进行平均，这就是所谓的“平移-去噪-平均”的平移不变量小波去噪法。

对于一个信号xt（0≤t≤n），Hn={h∶0≤h《n}，用Sh表示对信号xt进行h的时域平移，h是正整数，T表示对信号用Donoho的阈值法进行去噪处理，Ave表示“平均”，S-h=（Sh）-1，则n次循环平移的平移不变量小波去噪方法可以表示为：

该方法在去除伪吉布斯现象，表现出更好的视觉效果的同时，还能够得到比阈值法去噪更小的均方根误差（RMSE），并且提高了信噪比（SRN）。

4、小波变换模极大值法去噪

信号的奇异点就是指信号中的突变点，Lip指数是表征信号局部奇异点特征的一种量度，它的定义如下：设有正整数n，n≤A≤n+1，如果存在正整数A》0及n次多项式pn（x），使得：

由（8）式可知，对于一般信号，由于A≥0，小波变换的模极大值将随着j的增大而增大;而对于白噪声，由于A《0，其模极大值随着j的增大而减小。因此，观察不同尺度间小波变换模极大值变化的规律，去除幅度随尺度的增加而减小的点（对应噪声的极值点），保留幅度随尺度增加而增大的点（对应于有用信号的极值点），然后再由保留的模极大值点用交替投影法进行重建，即可以达到去噪的目的。

图5是用小波变换模极大值法去噪的结果。所采用的是双正交样条小波，小波分解层数是2。

图5  小波变换模极大值法去噪

表1中列出了用这4种方法去噪，信号的信噪比（SNR）和均方根误差（RMSE）的比较。从信噪比和均方根误差的角度看，模极大值法的去噪性能最好，小波分解与重构法最差，阈值法和平移不变量法居中。

表1  几种方法去噪后SNR和RMSE的比较

二、小波去噪方法的比较

1、小波分解与重构法去噪

本质上相当于一个具有多个通道的带通滤波器，主要适用于有用信号和噪声的频带相互分离时的确定性噪声的情况。在这种情况下，该方法能基本去除噪声，去噪效果很好。但对于有用信号和噪声的频带相互重叠的情况（如信号混有白噪声），效果就不甚理想。这种方法的优点是算法简单明了，计算速度快。若N为信号的长度，则它的计算速度是O（N）。其缺点是适用范围不是很广泛。它对于特定情况下已知道噪声的频率范围且信号和噪声的频带相互分离时非常有效。对实际应用中广泛存在的白噪声，其去噪效果则较差。

2、非线性小波变换阈值法去噪

主要适用于信号中混有白噪声的情况。用阈值法去噪的优点是噪声几乎完全得到抑制，且反映原始信号的特征尖峰点得到很好的保留。用软阈值的方法去噪能够使估计信号实现最大均方误差最小化，即去噪后的估计信号是原始信号的近似最优估计;且估计信号至少和原始信号同样光滑而不会产生附加振荡。该方法还具有广泛的适应性，因而是众多小波去噪方法中应用最为广泛的一种。阈值法的计算速度很快，为O（N），其中N为信号长度。其缺点是在有些情况下，如在信号的不连续点处，去噪后会出现伪吉布斯现象。且用该方法去噪时，阈值的选择对去噪效果有着很重要的影响。阈值的选择方法有多种，实际应用时应根据具体的情况来选择合适的阈值。

3、平移不变量小波法去噪

主要适用于信号中混有白噪声且含有若干不连续点的情况，是在阈值法基础上的改进。其优点可以有效地去除阈值法去噪中，在信号的不连续点处所产生的伪吉布斯现象，表现出比阈值法更好的视觉效果。从L2范数误差的观点看，经该方法去噪能够得到比阈值法更小的均方根误差，信噪比也得到一定地提高;缺点是计算速度没有阈值法快。当信号长度是N时，计算速度是O（NlogN）。

4、模极大值法去噪

主要适用于信号中混有白噪声，且信号中含有较多奇异点的情况。该方法在去噪的同时，有效地保留信号的奇异点信息，去噪后的信号没有多余振荡，是原始信号的一个非常好的估计，具有较好的图面质量。用模极大值进行重构时采用的是交替投影法，为保证重构信号的精度，提高信噪比，通常要进行几十次的迭代，每迭代一次的速度是O（NlogN）。因此，计算速度非常慢，通常要比前几种方法慢数十倍。