如何理解贝叶斯公式

　　前言

　　大家经常看到的贝叶斯公式（Bayes）是写成如下图的形式，通常以P（A|B），P（B|A）的形式表示，虽然数学上看着简单，那到底A，B是什么意思，应该怎么去理解呢，然后怎么运用于实际情况呢？

　　贝叶斯公式简介

　　贝叶斯定理由英国数学家贝叶斯 （ Thomas Bayes 1702-1761 ） 发展，用来描述两个条件概率之间的关系，比如 P（A|B） 和 P（B|A）。按照乘法法则，可以立刻导出：P（A∩B） = P（A）*P（B|A）=P（B）*P（A|B）。如上公式也可变形为：P（B|A） = P（A|B）*P（B） / P（A）。

　　贝叶斯（Bayes）公式是解决由观察到的现象（或是测量的数据）去推断现象（或是数据）后面的规律（或是假设）的发生的概率的问题。那么如果将上面公式中的A换成“规律”，B换成“现象”，这个公式就一目了然，能很容易理解和运用了。

　　

　　对于一个场景，可能有几种不同的规律来解释，根据对场景的一些现象的观测，怎么知道各种可能的规律在背后发生作用的概率，这就是想回答的问题P（规律|现象）。直接去计算有难度，但是我们知道在某个规律下，不同现象发生的概率P（现象|规律），和每个现象发生的概率P（规律），和不同现象发生的概率P（现象）。贝叶斯就是告诉怎么用这些知道的知识去计算现象后面的规律发生的概率（具体推导请参考条件概率和文氏族图）。所以，最重要的是分清（理解）场景或是问题中的规律和现象！

　　例如：一座别墅在过去的 20 年里一共发生过 2 次被盗，别墅的主人有一条狗，狗平均每周晚上叫 3 次，在盗贼入侵时狗叫的概率被估计为 0.9，问题是：在狗叫的时候发生入侵的概率是多少？

　　我们假设 A 事件为狗在晚上叫，B 为盗贼入侵，则以天为单位统计，P（A） = 3/7，P（B） = 2/（20*365） = 2/7300，P（A|B） = 0.9，按照公式很容易得出结果：P（B|A） = 0.9*（2/7300） / （3/7） = 0.00058

　　另一个例子，现分别有 A、B 两个容器，在容器 A 里分别有 7 个红球和 3 个白球，在容器 B 里有 1 个红球和 9 个白球，现已知从这两个容器里任意抽出了一个球，问这个球是红球且来自容器 A 的概率是多少？

　　假设已经抽出红球为事件 B，选中容器 A 为事件 A，则有：P（B） = 8/20，P（A） = 1/2，P（B|A） = 7/10，按照公式，则有：P（A|B） = （7/10）*（1/2） / （8/20） = 0.875

　　贝叶斯公式为利用搜集到的信息对原有判断进行修正提供了有效手段。在采样之前，经济主体对各种假设有一个判断（先验概率），关于先验概率的分布，通常可根据经济主体的经验判断确定（当无任何信息时，一般假设各先验概率相同），较复杂精确的可利用包括最大熵技术或边际分布密度以及相互信息原理等方法来确定先验概率分布。

　　贝叶斯法则的举例分析

　　可以将贝叶斯法则的分析思路表达如下。

　　挑战者B不知道原垄断者A是属于高阻挠成本类型还是低阻挠成本类型，但B知道，如果A属于高阻挠成本类型，B进入市场时A进行阻挠的概率是20%（此时A为了保持垄断带来的高利润，不计成本地拼命阻挠）；如果A属于低阻挠成本类型，B进入市场时A进行阻挠的概率是100%。

　　博弈开始时，B认为A属于高阻挠成本企业的概率为70%，因此，B估计自己在进入市场时，受到A阻挠的概率为：

　　0.7×0.2+0.3×1=0.44

　　0.44是在B给定A所属类型的先验概率下，A可能采取阻挠行为的概率。

　　当B进入市场时，A确实进行阻挠。使用贝叶斯法则，根据阻挠这一可以观察到的行为，B认为A属于高阻挠成本企业的概率变成A属于高成本企业的概率=0.7（A属于高成本企业的先验概率）×0.2（高成本企业对新进入市场的企业进行阻挠的概率）÷0.44=0.32

　　根据这一新的概率，B估计自己在进入市场时，受到A阻挠的概率为：

　　0.32×0.2+0.68×1=0.744

　　如果B再一次进入市场时，A又进行了阻挠。使用贝叶斯法则，根据再次阻挠这一可观察到的行为，B认为A属于高阻挠成本企业的概率变成。

　　A属于高成本企业的概率=0.32（A属于高成本企业的先验概率）×0.2（高成本企业对新进入市场的企业进行阻挠的概率）÷0.744=0.086

　　这样，根据A一次又一次的阻挠行为，B对A所属类型的判断逐步发生变化，越来越倾向于将A判断为低阻挠成本企业了。

　　以上例子表明，在不完全信息动态博弈中，参与人所采取的行为具有传递信息的作用。尽管A企业有可能是高成本企业，但A企业连续进行的市场进入阻挠，给B企业以A企业是低阻挠成本企业的印象，从而使得B企业停止了进入地市场的行动。

　　应该指出的是，传递信息的行为是需要成本的。假如这种行为没有成本，谁都可以效仿，那么，这种行为就达不到传递信息的目的。只有在行为需要相当大的成本，因而别人不敢轻易效仿时，这种行为才能起到传递信息的作用。

　　传递信息所支付的成本是由信息的不完全性造成的。但不能因此就说不完全信息就一定是坏事。研究表明，在重复次数有限的囚徒困境博弈中，不完全信息可以导致博弈双方的合作。理由是：当信息不完全时，参与人为了获得合作带来的长期利益，不愿过早暴露自己的本性。这就是说，在一种长期的关系中，一个人干好事还是干坏事，常常不取决于他的本性是好是坏，而在很大程度上取决于其他人在多大程度上认为他是好人。如果其他人不知道自己的真实面目，一个坏人也会为了掩盖自己而在相当长的时期内做好事。