模拟集成电路之频率响应分析零极点

零极点的理解是模拟电路最关键的基础之一，信号与系统都会讲自然响应，自然响应就是偏微分方程的通解部分，而受迫响应则是偏微分方程的特解。本文将详解零极点与频率响应之间的关系。

我们从频率域来分析零极点的影响。从频率域上，零点和极点会决定系统的频率响应。我们令系统传输函数H（s）中s（=σ+jω） 的实部σ=0而虚部ω仍然是变量，就得到了频率响应函数H（jω）。频率响应函数代表系统在恒包络正弦小信号输入时，输出正弦信号相对输入正弦信号的幅度和相位变化。频率响应函数可以表示为：

频率响应H（jω）是复数。其幅度|H（jω）|代表当正弦信号频率为ω时，输出正弦信号幅度相对输入正弦信号幅度的比值（即系统的增益），而其相位∠H（jω）则代表输出正弦信号相对输入正弦信号的相位变化。根据高中数学，频率响应的幅度和相位可以表示为各个零点/极点的贡献：

它有一个极点（实部σ=-1，虚部ω=0，其模为1）和一个零点（实部σ=100，虚部ω=0，其模为100）。由于极点的实部小于0，该系统是稳定的。当ω=0的时候［即DC（直流）响应］，分母的模为1，相位为0，分子的模为100，相位为π，因此频率响应的幅度为100，相位为π。我们接下来增加一点点ω，让它等于0.001。这个时候ω远远小于极点的模，因此频率响应分母的值和DC时没有显著区别（1+j0.001≈1）。ω也远远小于零点的模，因此频率响应分子的值也和DC时基本相同。所以当ω的值远远小于某个极点/零点的模的时候，该极点/零点的效应可以忽略不计。这也是在实际电路设计中很多频率远高于电路工作频率的极点/零点在分析的时候可以忽略的原因。当ω增加至1时，分母变为（j1+1），此时分母的幅度由DC时的1变为√2，相位则由0变为π/4。由于ω仍然远小于零点（1《《100），分子较DC相比仍然没有变化。频率ω=1时对极点是一个转折点：随着ω继续增长，该极点的效应渐渐变得显著。当ω=10的时候，ω已经远远大于极点的模，因此频率响应的分母可以近似为jω，相位为π/2。此后随着ω继续增长，分母的模随之变大，因此在零点发挥作用前，频率响应的幅度会随着频率增大以20dB/dec的速度减小。另一方面，当ω增大到远大于零点的模（》》100）时，频率响应的分子可以近似为jω，因此分子的相位为π/2，且分子的模随着频率增长以20dB/dec的速度增长。此时分子和分母的模都以20dB/dec增长，因此互相抵消，频率响应的幅度不再变化，而相位则由DC时的π变为0。

H（jω）的幅度和相位

零点和极点对频率响应的效果也可以由s平面零极点图解释。上面例子的零极点图如下：

开始ω1=0 （即DC响应），极点向量的相位为0。之后随着ω增加，极点向量的长度逐渐增长，相位贡献θ也逐渐变大。当ω等于极点的模的时候（ω2），根据初中数学极点向量的长度变为DC时的√2倍，而相位角θ为π/4。之后随着ω继续增长到远大于极点的模的时候，极点向量渐渐变得和ω轴平行，此时极点向量的长度近似等于ω，而相位角θ也渐渐逼近π/2。对于零点也可以做类似的分析。这样图解分析与之前分析的结果相同，但是更直观。

零点和极点对频率响应的影响可以总结为：

*当频率远小于某零点/极点的模时，该零点/极点对频率响应的影响可以忽略。

*当频率接近某极点的模时，该极点的效果渐渐体现。当频率远大于该极点时，该极点使得频率响应的幅度以20dB/dec的速度衰减，而相位相对DC产生-π/2的变化。

*共轭极点是一种特殊的极点，它们总是成对出现且共轭极点对的模都相等，因此当频率远大于一对共轭极点的模的时候，该共轭极点对会使频率响应的幅度以40dB/dec的速度衰减，而相位相对DC产生-π的变化。而在频率接近共轭极点对的模的时候，频率响应曲线的变化取决于共轭极点对的位置（详见下文）。

*当频率接近某零点的模时，该零点的效果渐渐体现。当频率远大于该零点时，该零点使得频率响应的幅度以20dB/dec的速度增加。而相位相对DC产生π/2（当零点在左半平面）或-π/2（当零点在右半平面）的变化。

*频率响应的总体幅度/相位取决于所有零点和极点对幅度/相位的贡献。

共轭极点对

共轭极点对是一类特殊的极点。一对共轭极点（s-p）（s-p*）可以写作

其中ω0为共轭极点的谐振频率，Q称作共轭极点的品质因数。

共轭极点对模型最初来源于LC谐振电路，如下图中的RLC串联电路。

其中共轭极点的谐振频率ω0=1/√LC即LC tank的谐振频率，品质因数Q=（1/R）∙√（L/C）即为LC tank的品质因数，表示在谐振频率附近每周期LC tank存储的能量与耗散能量的比值。共轭极点可以由LC tank形成，也可由反馈通路形成。

共轭极点对的Q值由共轭极点的位置决定。当共轭极点的谐振频率固定而改变品质因数（即固定L和C而改变R）时，共轭极点对的轨迹在以原点为圆心，半径为ω0的圆上。当共轭极点对靠近纵轴时，品质因数变大；而当共轭极点对靠近横轴时，品质因数变小。共轭极点对的品质因数必须大于等于1/2，当Q小于1/2时共轭极点对退化为两个实极点。

对于传输函数具有共轭极点对的系统，系统的自然响应中含有包络指数衰减的正弦波。有时候在放大器的瞬时响应中会看到衰减震荡的现象，这种现象就是由共轭极点造成的。

正弦波的频率接近谐振频率ω0，而包络的衰减速度取决于Q。Q值约等于包络衰减到初始值的1/e时所需要的谐振周期。Q值大时包络衰减较慢，反之Q值小时包络衰减较快。在放大器设计中我们往往希望看到settling time比较小的瞬时响应，因此应该避免高Q值得共轭极点对。

共轭极点对另一个重要性质是它会引起频率响应的尖峰（peaking）。这一点可以从零极点图来理解。

在零极点图上，有共轭极点p1和p1*，位置在σ±jω0。当频率从ω1（略小于ω0）移动到ω2（等于ω0）时，连接到极点p1*的极点向量长度基本不变，但连接到极点p1的极点长度显著变短了。因此频率响应在谐振频率（ω=ω0）处会产生一个尖峰，尖峰的高度随Q值变大而变大。极端情况是Q值无穷大时，此时p1和p1*都在ω轴上，因此当ω=ω0时，连接p1和ω的极点向量长度为0，这样频率响应的幅度变为无穷大，所以就产生了高度无穷大的尖峰。在设计需要较小settling time的放大器时我们希望避免明显的频率响应尖峰（频率响应尖峰明显=》共轭极点对Q值大=》瞬时响应中衰减震荡持续时间较长=》settling time较长）；但另一方面在设计宽带放大器（例如在CML电路中）时我们往往会故意引入频率响应尖峰以增加带宽。

频率响应尖峰与Q值的关系

至此我们回顾了EE215A所需要的电路分析基础知识。接下来我们将应用它们去分析具体电路。

下面我们有请助教哥给大家带来传输函数标准型的补充。

将传输函数写成标准形式有助于我们迅速画出频率响应的草图，这对我们今后分析放大器、锁相环的噪音和稳定性至关重要。

一阶零极点

之前说的零极点是标准的零极点定义，也可以称为正向零极点。注意我们要把极点 ，零点写成归一化的形式，便于我们将基准增益拆分出来。在下图中，基准增益都是A0

逆向极点和逆向零点是新引入的概念。逆向极点的意思是如果从无穷高频率出发向DC 移动，频率响应会遇到一个-1斜率滚降（或者叫-20dB/dec如果用分贝）。同理，逆向零点是从无穷高频率出发向DC 移动，频率响应会遇到一个+1斜率上升（或者叫-20dB/dec如果用分贝）。逆向极点是由一个在原点的零点和一个在ω1的极点组成。逆向零点由一个在原点的极点和一个在ω1的零点组成。如果我们将传输函数写成如下的逆向形式而不是一般的正向形式，频率响应就能很快被画出来。

正向、逆向极点和零点的相位响应曲线大家可以很容易想出来，只要注意频率变化方向即可，所以就不重复讲了。

灵活运正向、逆向零极点对于分析这对我们今后分析放大器、PLL的噪音和稳定性至关重要。下面举个例子：

二阶零极点

我们先重新学习二次函数的根的表达式。我们在高中学的二次函数根长这样：

但是问题是，这样的表达式是高熵的，比如某一个传输函数的分母的根按照传统高中学过的表达式，长这样：

你看这个表达式，长得这么丑，看着就浑身难受。除非你用一个绘图软件，并把所有R C的值带入，否则你没有办法快速找出这两个根的关系，没法根据这个表达式快速绘出频率响应。更重要的是，你没有办法从这个表达式快速看出要怎样设计R C以达到你的目的。

所以Prof. Abidi（原引Prof. Middlebrook）教育我们要用适合电路设计的二次函数根式。

回去看高中根式，其实这个根式用的是两根之和等于-b/a 的性质。但是二次函数两根之积还等于c/a，新根式正是运用了两根之积性质。换句话说，高中公式看的是两根的算术平均，新根式看的是两个的几何平均。不要忘了在对数刻度中，几何平均比算术平均更加有意义，因为两个刻度的中点是几何平均。

新根式如下：

注意看新根式的对称性！拿到一个二阶表达式，我们只要算Q和ω0就可以了。有同学会问，那F怎么办，F不是还是乱糟糟么？其实不然，我们把F和Q的关系画一下：

你看，当Q小于0.3的时候，F约等于1。所以我们只要根据Q的表达式，估计Q值，如果远小于0.3，那么就是两个实根，一个是-ω0Q，另一个-ω0/Q 啦！

有同学会问，那Q 在0.3和0.5中间时候怎么办呢？很简单，把他们近似成两个重实根就好了。

如果Q大于0.5，我们就有复数根（共振）了。

这样的表达式利于具体的电路设计。我们可以分析电路模型，把ω0和Q用电路元件的参数表达出来。之后比如我们可以设计 ω0以达到带宽要求。设计Q 以达到稳定性要求。

二阶带通

二阶带通标准形式如下，零级点图中画的是极点的轨迹（随Q变化而移动）。

通过新根式，我们可以画出幅度频率响应

纵轴时|H| 对数刻度，横轴是ω对数刻度。

中间交汇处是H0，ω0。不管Q为何值，幅度响应都在ω0通过H0。

当Q小于0.3时，双实根距离很远，我们有一个正向极点和一个逆向极点。

当Q等于1时，两个渐近线的延长线正好交汇于H0，实际响应有一个小尖峰。

当Q远大于1时，两个渐近线交汇于H0/Q 很低的一个点，但是|H|还是要过H0，所以有一个很大尖峰。

相位响应（近似渐近线）如下：

随着Q增大，角度变化越快。

二阶低通与二阶带通类似，只是少了一个零点

标准表达式如下

幅度响应如下

记住幅度响应在ω0时为H0Q，所以当Q=1时幅度在ω0时为H0。但这时我们已经有微小的尖峰了。

注意幅度的最高点永远小于ω0，当Q增大时，无限接近于ω0。

二阶低通相位响应与带通的类似，只是整体向下移动90°。

同样地，我们可以定义正向二阶极点 零点和反向二阶零极点，大家到此应该可以想出以下推论了。