解决不重复序列的全排列问题的两个方法：递归和字典序法

简介

给定 {1, 2, 3, , , n}，其全排列为 n! 个，这是最基础的高中组合数学知识。我们以 n=4 为例，其全部排列如下图（以字典序树形式来呈现）：

我们很容易想到用递归来求出它的所有全排列。

仔细观察上图，

以 1 开头，下面跟着 {2, 3, 4} 的全排列；

以 2 开头，下面跟着 {1, 3, 4} 的全排列；

以 3 开头，下面跟着 {1, 2, 4} 的全排列；

以 4 开头，下面跟着 {1, 2, 3} 的全排列。

代码如下：

/**

*

* author : 刘毅（Limer）

* date   : 2017-05-31

* mode   : C++

*/

#include

#include

using namespacestd;

voidFullPermutation(intarray[],intleft,intright)

{

if(left == right)

{

for(inti = 0;i < 4;i++)

cout << array[i] << " ";

cout << endl;

}

else

{

for(inti = left;i <= right;i++)

{

swap(array[i],array[left]);

FullPermutation(array,left + 1,right);

swap(array[i],array[left]);

}

}

}

intmain()

{

intarray[4] = {1,2,3,4};

FullPermutation(array,0,3);

return0;

}

运行如下：

咦~ 递归写出的全排列有点不完美，它并不严格遵循字典序。但是熟悉 C++ 的朋友肯定知道另一种更简单，更完美的全排列方法。

定义于文件 内的两个算法函数：

1、next_permutation，对于当前的排列，如果在字典序中还存在下一个排列，返回真，并且把当前排列调整为下一个排列；如果不存在，就把当前排列调整为字典序中的第一个排列（即递增排列），返回假。

2、prev_permutation，对于当前的排列，如果在字典序中还存在上一个排列，返回真，并且把当前排列调整为上一个排列；如果不存在，就把当前排列调整为字典序中的最后一个排列（即递减排列），返回假。

/**

*

* author : 刘毅（Limer）

* date   : 2017-05-31

* mode   : C++

*/

#include  

#include  

using namespacestd;

voidFullPermutation(intarray[])

{

do

{

for(inti = 0;i < 4;i++)

cout << array[i] << " ";

cout << endl;

}while(next_permutation(array,array + 4));

}

intmain()

{

intarray[4] = {1,2,3,4};

FullPermutation(array);

return0;

}

运行截图省略。输出结果正好符合字典序。

那这个 “轮子” 是怎么做的呢？（摘自侯捷的《STL 源码剖析》）

1、next_permutation，首先，从最尾端开始往前寻找两个相邻元素，令第一元素为*i，第二元素为*ii，且满足*i < *ii，找到这样一组相邻元素后，再从最尾端开始往前检验，找出第一个大于*i的元素，令为*j，将 i，j 元素对调，再将 ii 之后的所有元素颠倒排列，此即所求之 “下一个” 排列组合。

2、prev_permutation，首先，从最尾端开始往前寻找两个相邻元素，令第一元素为*i，第二元素为*ii，且满足*i > *ii，找到这样一组相邻元素后，再从最尾端开始往前检验，找出第一个小于*i的元素，令为*j，将 i，j 元素对调，再将 ii 之后的所有元素颠倒排列，此即所求之 “上一个” 排列组合。

代码如下：

boolnext_permutation(int * first,int * last)

{

if(first == last)returnfalse;  // 空区间

int * i = first;

++i;

if(i == last)returnfalse;  // 只有一个元素

i = last;

--i;

for(;;)

{

int * ii = i;

--i;

if(*i < *ii)

{

int * j = last;

while(!(*i < *--j))  // 由尾端往前找，直到遇上比 *i 大的元素

;

swap(*i, *j);

reverse(ii,last);

returntrue;

}

}

if(i == first)  // 当前排列为字典序的最后一个排列

{

reverse(first,last);  // 全部逆向排列，即为升序

returnfalse;

}

}

boolprev_premutation(int * first,int * last)

{

if(first == last)returnfalse;  // 空区间

int * i = first;

++i;

if(i == last)returnfalse;  // 只有一个元素

i = last;

--i;

for(;;)

{

int * ii = i;

--i;

if(*i > *ii)

{

int * j = last;

while(!(*i > *--j))  // 由尾端往前找，直到遇上比 *i 大的元素

;

swap(*i, *j);

reverse(ii,last);

returntrue;

}

}

if(i == first)  // 当前排列为字典序的第一个排列

{

reverse(first,last);  // 全部逆向排列，即为降序

returnfalse;

}

}

结后语

这篇文章主要介绍了解决不重复序列的全排列问题的两个方法：递归和字典序法。