数字滤波器的设计方法及步骤详解

　　数字滤波器原理

　　数字滤波器主要由数字乘法器、加法器、延时电路等部分构成，其实就是一个数字信号处理器，主要使用数字计算机对数字信号按照预先编制的程序进行相应的计算。若采用通用的计算机，随时编写程序就可以完成对信号的处理，但速度较慢;若采用专用的计算机，其芯片是根据固定的计算方法制成的一种集成电路，连接信号后就可以完成对信号的处理，速度较快，但处理方式无法更改;若采用可编程的计算机芯片，则既可以编写不同程序以达到处理方式的多样化，又具有较快的处理速度，因此是目前市场内应用最为广泛的。

　　数字滤波器对模拟信号进行滤波时的步骤如下图所示，首先经过模数转换器将待处理的模拟信号转换为数字信号，再经数字信号处理器对待处理的数字信号进行处理，最后经数模转换器将处理过的数字信号转换为模拟信号，至此，完成了对模拟信号的处理。我们可以这样来理解数字滤波器，它是一种通过对数字信号进行处理来完成对数字信号或者模拟信号进行滤波的仪器。

　　数字滤波器分类

　　滤波器根据功能的不同可分为低通滤波器、高通滤波器、带通滤波器和带阻滤波器四种;根据实现方法的不同可分为FIR滤波器和IIR滤波器两种;根据设计方法的不同可分为切比雪夫滤波器和巴特沃斯滤波器;根据处理信号的不同可分为经典滤波器和现代滤波器两种;根据处理信号的不同可以分为数字滤波器和模拟滤波器。数字滤波器是滤波器的一种，但以上分类都是独立的，因此数字滤波器也具有以上几种分类形式。

　　数字滤波器的设计方法及步骤

　　一、模拟低通滤波器的设计方法

　　1、Butterworth滤波器设计步骤：

　　⑴确定阶次N

　　①已知Ωc、Ωs和As求ButterworthDF阶数N

　　②已知Ωc、Ωs和Ω=Ωp的衰减Ap求ButterworthDF阶数N

　　得到N：

　　③已知Ωp、Ωs和Ω=Ωp的衰减Ap和As求ButterworthDF阶数N

　　⑵用阶次N确定Ha（s）

　　根据公式：

　　2、切比雪夫低通滤波器设计步骤：

　　⑴确定技术指标Ωp，ap，Ωs，as

　　⑵根据技术指标求出滤波器阶数N及

　　⑶求出归一化系统函数其中极点由下式求出：

　　或者由N和S直接查表得Ha（p）

　　⑷去归一化：

　　二、数字低通滤波器的设计步骤：

　　1、确定数字低通滤波器的技术指标：通带截止频率、通带最大衰减系数

　　阻带截止频率、阻带最小衰减系数。

　　2、将数字低通滤波器的技术指标转换成模拟低通滤波器的技术指标。巴特沃斯

　　3、把模拟滤波器变换成数字滤波器，即把模拟滤波器的系数映射成数字滤波器的系统函数。

　　实现系统传递函数s域至z域映射有脉冲响应不变法和双线性映射两种方法。

　　（1）脉冲响应不变法。

　　按照技术要求设计一个模拟低通滤波器，得到模拟低通滤波器的传输函数转换成数字低通滤波器的系统函数H（z）。

　

　　对上式进行Z变换，得到数字滤波器的系统函数H（z）

　　经过一系列变换得到：

　　（2）双线性变换法

　　这种变换方法，采用非线性频率压缩方法，将整个频率轴上的频率范围压缩到±π/T之间，再转换到z平面上。设Ha（s），s=jΩ，经过非线性频率压缩后用Ha（s1），表示，这里用正切变换实现频率压缩：

　　式中T仍是采样间隔，当Ω1从-π/T经过0变化到π/T时，Ω则由-∞经过0变化到+∞，实现了s平面上整个虚轴完全压缩到s1平面上虚轴的±π/T之间的转换。这样便有

　　两种方法比较：

　　脉冲响应不变法的优点：

　　1，模拟频率到数字频率的转换时线性的；

　　2，数字滤波器单位脉冲响应的数字表示近似原型的模拟滤波器单位脉冲响应，因此时域特性逼近好。

　　缺点：

　　会产生频谱混叠现象，只适合带限滤波器双线性变换法优点：

　　克服多值映射得关系，可以消除频率的混叠

　　缺点：

　　时域到频域的变换是非线性的，在高频处有较大的失真。

　　三、数字高通滤波器的设计步骤：

　　①数字高通滤波器的技术指标为：通带截止频率ωp阻带截止频率ωs通带衰减频率αP阻带衰减频率αs

　　②预畸变处理，将数字高通指标转换为模拟低通指标

　　③确定阶数N由（可由模拟低通滤波器设计方法可得

　　④归一化及去归一化查表令s=s/Ω归一化模拟低通圆型系统函数

　　⑤低通向高通转化令s1=1/s由频率变换公式

　　⑥滤波器数字化令利用双线性变换化

　　数字高通不能采用脉冲响应不变法原因是：脉冲响应不变法有频谱周期延拓效应，因此只能用于带限的频响特性，如衰减特性很好的低通或带通。而高频衰减越大，频响的混淆效应越小，至于高通滤波器，由于它们在高频部分不衰减，因此将完全混淆在低频响应中。

　　四、数字带通滤波器的设计：

　　步骤：

　　（1）确定性能指标：在设计带通滤波器之前，首先根据工程实际的需要确定滤

　　波器的技术指标：通带截止频率wc1，wc2、阻带截止频率wr1，wr2、阻带最小衰减αs通带最大衰减αp

　　（2）对带通数字滤波器H（z）的数字边界频率预畸变

　　得到带通模拟滤波器H（s）的边界频率

　　主要是通带截止频率ωp1，ωp2;阻带截止频率ωs1，ωs2的转换。

　　对双线性变换法一般T=2s

　　通带截止频率wc1=（2/T）*tan（wp1/2）、wc2=（2/T）*tan（wp2/2）

　　阻带截止频率wr1=（2/T）*tan（ws1/2）、wr2=（2/T）*tan（ws2/2）

　　阻带最小衰减αs通带最大衰减αp

　　（3）低通到带通频率变换

　　将模拟带通滤波器指标转换为模拟低通滤波器指标。

　　B=wc2-wc1

　　normwr1=（（（wr1^2）-（w0^2））/（B*wr1））

　　normwr2=（（（wr2^2）-（w0^2））/（B*wr2））

　　normwc1=（（（wc1^2）-（w0^2））/（B*wc1））

　　normwc2=（（（wc2^2）-（w0^2））/（B*wc2））

　　模拟低通滤波器指标：

　　normwc，normwr，αp，αs

　　（4）设计模拟低通原型滤波器。查表得到归一化低通传输函数G（p）：

　　用模拟低通滤波器设计方法（由巴特沃斯设计步骤或切比雪夫设计步骤）得到模拟低通滤波器的传输函数Ha（s）

　　（5）模拟低通滤波器转化为模拟带通滤波器。

　　（6）利用双线性变换法将模拟带通滤波器Ha（s）转换成数字带通滤波器H（z）

　　两种方法比较比较：

　　脉冲响应不变法数字滤波器单位脉冲响应的数字表示近似原型的模拟滤波器单位脉冲响应，因此时域特性逼近好。但会产生频谱混叠现象，只适合带限滤波器双线性变换法可以克服多值映射得关系，可以消除频率的混叠但时域到频域的变换是非线性的，在高频处有较大的失真。

　　五、数字带阻滤波器的设计：

　　步骤：

　　（1）确定性能指标：

　　通带截止频率wc1，wc2、阻带截止频率wr1，wr2、阻带最小衰减αs通带最大衰减αp

　　（2）对带通数字滤波器H（z）的数字边界频率预畸变

　　主要是通带截止频率ωp1，ωp2;阻带截止频率ωs1，ωs2的转换。

　　对双线性变换法一般T=2s

　　通带截止频率wc1=（2/T）*tan（wp1/2）、wc2=（2/T）*tan（wp2/2）

　　阻带截止频率wr1=（2/T）*tan（ws1/2）、wr2=（2/T）*tan（ws2/2）

　　阻带最小衰减αs通带最大衰减αp

　　（由模拟低通滤波器设计方法可得

　　模拟低通滤波器确定模拟带阻滤波器

　　由模拟低通到模拟带阻的变换这一模拟低通到带阻的变换关系为

　　

　　数字带阻滤波器不能用脉冲响应不变法：原因是脉冲响应不变法有频谱周期延拓效应，因此只能用于带限的频响特性，如衰减特性很好的低通或带通。而高频衰减越大，频响的混淆效应越小，至于带阻滤波器，由于它们在高频部分不衰减，因此将完全混淆在低频响应中。