一种分数阶Bingham磁流变阻尼器力学模型

摘要：

磁流变阻尼器力学模型是磁流变阻尼器结构控制的基础。针对Bingham磁流变阻尼器力学模型，对剪切应变率作分数阶微分处理，提出一种分数阶Bingham磁流变阻尼器力学模型，并将此模型引入到图像去噪，推导出一种分数阶Bingham图像去噪模型，且定义一种分数阶边缘检测算子和数值解法，最后用于合成图像与Lena图像去噪。MATLAB实验结果表明，算法既能保持图像目标边缘，又能实现图像去噪。

0 引言

磁流变阻尼器是应用磁流变液在强磁场下快速可逆流变特性而制造出的一种有着广泛应用前景的减振控制装置[1]。由于磁流变阻尼器的非线性，建立较为精确的阻尼器动力学模型是开发和使用阻尼器获得好的控制效果的关键因素之一[2]。磁流变液的流体力学性能受到外加磁场等多因素影响，本构关系复杂，难以建立精确的数学模型，目前还没有统一的磁流变阻尼器力学模型[3]。

Bingham模型是一种常用的磁流变阻尼器塑性流体力学模型[4]。Herschel-Bulkley模型是一种改进的非线性Bingham模型，具有幂律的本构关系，其整数阶导数模型需要引入多个导数项和材料参数[5]。分数阶导数可以很好地描述具有幂律的复杂非线性自然和社会现象[6]。为此，本文将分数阶微分和Bingham模型相结合，得到分数阶Bingham模型，描述磁流变阻尼器的动力学过程。

图像去噪是图像预处理的重要步骤[7]，基于偏微分方程(PDE)的图像去噪方法是图像分析和处理的研究热点[8]。本文由分数阶Bingham模型推导得到分数阶Bingham PDE图像去噪模型，并定义一种分数阶边缘检测算子，用于图像去噪。试验结果证明了算法的有效性。

1 分数阶微积分与Bingham模型

1.1 分数阶微积分定义

分数阶微积分是数学分析的一个重要分支，目前分数阶微积分有多种定义表达式[9]，其中主要有3种经典的时域表达式，包括Grümwald-Letnikov、Riemann-Liouville 和Capotu定义，3种定义在一定条件下是等价的。分数阶微积分的定义为：

式中，v为分数阶数，G表示G-L定义，下标a和t表示积分式的下界和上界，a为时间t的初值。

1.2 Bingham模型

Bingham模型是磁流变阻尼器常采用的力学模型之一，其应力与应变的关系为：

1.3 Herschel-Bulkley模型

Herschel-Bulkley模型是一种改进的Bingham模型，能够解释磁流变液屈服后剪切稀化和剪切增稠行为。其模型表达式为：

2 分数阶Bingham磁流变阻尼器力学模型

Herschel-Bulkley模型是一种整数阶导数模型，式(3)具有幂律特性，其应力与应变响应依赖于时间和应变率，与载荷和变形历史有关，具有记忆性。相比Bingham模型，它引入了多个导数项和材料参数，较准确地描述了磁流变液的动力学特性。针对模型的幂率特性，Gemant[4]建议将分数阶时间导数引入到材料的本构关系中，能用较少的材料参数便能准确地描述大量复杂的具有记忆性的材料的动力学特性。为此，将式(1)的分数阶引入到式(2)当中，提出一种分数阶Bingham磁流变阻尼器力学模型，如式(4)所示。

3 分数阶Bingham图像去噪模型 

3.1 图像去噪模型

再令u(0)=u0为初始含噪图像，得到PDE图像去噪迭代模型：

3.2 数值解法

数值解法采用有限差分方法。将图像看成向量[1×MN]，向量元素ui为像素灰度值，i∈[1，…，MN]，h表示离散网格大小，tk=τk为离散时间，其中k为正整数，τ为时间步长。对图像进行时域微分：

得到分数阶微分掩模算子[11]，即Tainsi算子，如图1所示。利用Tainsi算子对式(11)作分数阶微分处理，得到一种分数阶边缘检测算子。

4 试验结果

4.1 性能评价

图像去噪结果评价采用的评价测度方法有两种[12-13]，即信噪比(SNR)和平均结构相似度(MSSIM)。SNR图像去噪评价采用式(17)：

式中，M为局域窗口数目，X、Y为参考标准和去噪图像。

4.2 结果

对人工合成图像进行去噪，并比较不同阶数(0≤v≤1)的图像去噪算法处理结果，如图2所示。图2(a)大小为150×150；噪声图像图2(b)的SNR为7.966 5，噪声σ=10；图2(c)～(f)分别为分数阶数为0、0.3、0.7、1，迭代次数为40的图像去噪结果。从图中看出，当阶数为0.7时，图像去噪效果最好，既保持了边缘，又去除了噪声。式(6)中v1和v2取不同值，用分数阶Bingham图像去噪模型式(7)对图2(b)去噪，得到SNR和MSSIM值，如表1所示。当v1＝v2＝0.7时，SNR最大；当v1＝v2＝0.5 时，MSSIM最大。

对Lena图像进行去噪，并比较不同阶数(0≤v≤1)图像去噪算法处理结果，如图3所示。图3(a)大小为256×256，噪声图像3(b)的SNR为12.653 1，噪声σ=10，图3(c)～(f)分别为分数阶数为0、0.3、0.7、1，迭代次数为10的图像去噪结果。从图中看出，当阶数为0.3时，图像去噪效果最好，既保持了边缘，又去除了噪声。式(6)中v1和v2取不同值，用分数阶Bingham图像去噪模型式(7)对图3(b)去噪，得到SNR和MSSIM值，如表2所示。当v1＝0.2、v2＝0.3时，SNR最大；当v1＝v2＝0.4 时，MSSIM最大。

4.3 算法分析 

提取图2中的第75行像素值，如图4所示，图中包括无噪像素值、含噪图像素值、不同阶数(v＝0、0.7、1)的去噪图像素值。从图看出，在平坦区域，当v＝0.7时像素值更接近真实值，当v＝1.0时像素值振荡幅度最大，去噪效果最差；在边缘区域，当v＝1.0时边缘保持效果最好，v＝0.7次之，v＝0最差；综合比较，当v＝0.7时，分数阶Bingham力学模型效果最好，既保持了图像高频边缘信息，又抑制了低频区域噪声，此现象与表1数值表现一致。表1和表2中，SNR与MSSIM的峰值位置距离较近，且SNR与MSSIM的数值变化趋势保持一致，从而证明选择合适的分数阶数确能改善Bingham力学模型图像去噪效果。

5 结论

图像去噪是图像处理中最基本问题之一，既实现去噪又保持图像边缘高频信息是图像去噪的重要目标。本文利用Bingham磁流变阻尼器力学模型与分数阶微积分原理相结合，提出一种分数阶磁流变阻尼器力学图像去噪模型，MATLAB试验结果表明：

(1)根据Bingham磁流变阻尼器力学模型，对剪切应变率作分数阶处理，推导得到分数阶Bingham图像去噪模型是有效的。

(2)定义的分数阶边缘检测算子及分数阶掩模算子(Tainsi算子)是可行的，能有效检测图像边缘，具有较好抗噪性能。

(3)通过选择合适的分数阶阶数，能够优化图像去噪效果，既能保持图像边缘信息，又能较好实现图像去噪。