用数学证明的方法证明了简化算法的可行性

摘要：

极化码是目前唯一可以从数学角度证明达到香农极限的纠错编码技术。但是传统的译码算法、连续删除（SC）译码和连续删除列表（SCL）译码算法复杂度较高，使得译码过程有较大译码延时。经过研究译码算法的原理和特点，证明部分节点的译码运算是冗余，提出了SC译码和SCL译码简化算法。证明了简化的译码算法在保证译码性能不变的前提下，显著降低了译码的复杂度。

0 引言

2009年ARIKAN E教授提出了极化码[1]，并且通过数学方法证明了当码长无限长时其性能可以达到香农极限。极化码一经提出就在国际上引起广泛的关注，并且在2016年11月3GPP RAN1 #87会议上确定5G eMBB场景控制信道编码为极化码。

极化码在实际应用中存在着一些缺点。连续删除(Successive Cancellation，SC)译码对于长码有很好的纠错性能，但是对中短码长译码性能有显著的降低。为了克服这个问题，学者们提出了许多改进方法，如置信传播（Belief Propagation，BP）译码算法[2]、线性规划（Linear Programming，LP）译码算法[3]等。这些算法虽然可以提高一部分译码性能，但是译码算法的复杂度太大。一些算法针对SC算法进行了改进，文献[4]提出了连续删除列表(Successive Cancellation List，SCL)译码算法，特别是在冗余循环校验(Cyclic Redundancy Check，CRC)辅助下的SCL的译码性能可以超过最大似然(Maximum Likelihood，ML)译码[5]。但同时SCL译码的复杂度也随之增加。文献[6]中提出的堆栈SC（SCStack，SCS）译码有和SCL译码相同的译码性能，此外SCS译码的时间复杂度远低于SCL译码，并且在高的信噪比下可以降低搜索宽度L。

本文对SC译码和SCL译码进行了算法简化，降低了算法的复杂度和时延。并且用数学证明的方法证明了简化算法的可行性。

1 极化码编码

Polar Code是一种结构性与迭代性极强的信道编码技术，其设计核心理论是对信道的极化，信道极化过程主要包括两部分[1]：信道联合过程和信道分裂过程。

1.1 信道极化[1]

信道联合：对已知的二进制离散无记忆信道W进行N次迭代复制WN：XN→YN，N=2n，并对复制所得信道进行递推方式组合。WN和WN之间的转移概率关系为：

图1所示为在高斯信道下，码长为N=4 096的信道极化仿真图。根据仿真结果，可以看出部分信道的信道容量成两极分化。据此可以选出I(W)→1的信道传输信息比特作为信息位，I(W)→0的信道传输固定比特作为冻结位。

1.2 极化码编码

2 SC译码算法

把βv传递给pv。这时v节点的译码消息传递终止，因为在余下译码过程中将不会再次激活节点v。

2.1 简化的SC译码算法

本节通过简化传统译码的消息传递规则，简化了SC译码算法。并且证明简化译码算法的译码性能是与传统的译码性能相同。

(1)Rate-0节点

对于Rate-0节点v，由于它所有后代都是Rate-0节点，因此当v接收到软信息αv时，不去激活左右的子节点而直接计算βv：

对于任意dv=n-1的Rate-1节点一定满足式(15)。假设dv=i的Rate-1节点也满足(15)，于是对于dv=i-1的Rate-1节点v的子节点dv=i，满足式(15)。因此，根据上面的推导可以证明式(12)成立。

②证明式(13)成立：当dv=n时，对Rate-1节点，式(13)显然是成立，因此，可以通过归纳法证明dv

2.2 算法复杂度分析

3 SCL译码算法

为了提高SC译码算法在码长较短情况下纠错能力，SCL译码算法被提出，L代表搜索宽度。每次必须有一点被估计，它的可能值0和1都需要被考虑。因为存在L组码字候选，所以每次新的位估计产生2L组候选路径，其中一半需要丢弃。因此，路径度量值(Path Metric，PM)被提出。PM计算如下：

SCL译码算法是从根节点出发，按广度优先的方法对路径进行扩展；每一层向下一层扩展时，选择当前层中具有较小PM的L条。当没有到达叶节点而搜索宽度已经达到，按照PM的从大到小的排列保留PM小的L条路径。直到到达叶节点，然后选取PM最小路径作为译码结果。

为了进一步提高极化码的译码性能，编码前在信息比特中添加CRC，然后利用SCL译码算法获得L条搜索路径，最后借助“正确信息比特可以通过CRC校验”的先验信息，对这L条搜索路径进行挑选，从而得到正确译码结果。

4 简化的SCL译码算法

传统的SCL译码算法每次进行路径扩展时都会产生2L条路径，但是对于冻结比特，由于译码结果是已知的，因此对于冻结比特不进行路径扩展，直接判决比特，路径度量值也不改变，从而减少剪枝算法执行的次数，达到降低算法复杂度的目的。

由上述的译码过程分析，式(20)PM的计算可以改为：

因为冻结比特在译码过程中结果是已知的，所以不需要去选择路径，进而PM也不需要计算。另外，由于分裂次数的减少，剪枝算法也随之减少，并最终达到了降低算法复杂度的目的。

5 仿真结果与分析

如图4所示，在高斯信道下，码长为1 024，码率为0.5，采用二进制相移键控调制，译码输出使用24位CRC校验。搜索宽度L分别为1，2，4，8，16，32 的CA-SCL译码性能，仿真数据是106帧，一帧长1 024个比特。仿真结果表明，随着L的值增加，误码率在逐渐降低，CA-SCL译码算法的性能明显要优于SC(L=1)译码算法。

6 结论

极化码是目前唯一可以通过数学证明达到香农极限的信道编码技术，并且已经成为5G控制信道的编码方案。本文详细叙述极化码编译码的原理和结构，并提出关于SC译码和SCL译码的优化算法，在不改变译码性能的前提下，降低了算法复杂度。通过对SC译码和SCL译码的性能进行了仿真分析，结果表明，随着搜索宽度L的增加，极化码的译码性更优，但复杂度也随着增加。因此关于SCL的复杂度和数据吞吐量是下一步研究方向。