说一说信号与系统中的“归一化处理“

描述

答疑群里面有同学问,“归一化是什么意思?”。关于数学上归一化严谨的定义我没有研究过。去网上查了一下,360百科上是这样定义的:

“ 归一化是一种简化计算的方式,即将有量纲的表达式,经过变换,化为无量纲的表达式,成为标量。 ”

不管是在信号处理类的课程中还是在工程实际中,归一化都是一种常用的处理方式。

比如,离散时间信号x(n)的自变量n,就是时间相对于采样周期(或者叫采样间隔)T的归一化,即

n=t/T

滤波器

离散域的角频率(称为数字域频率)W,就是模拟角频率相对于采样频率的归一化,即:

数字域频率=模拟角频率/采样频率fs=模拟角频率×采样间隔T

在学习时域采样时,我们说:时域以T为间隔离散化,对应频域以2π/T为周期进行周期延拓,所以,抽样信号的傅里叶变换是以2π/T为周期的。但到了离散信号的傅里叶变换DTFT,又是以2π的周期的。就是因为把模拟角频率2π/T除以采样频率(即乘以采样间隔T)变成了数字域频率2π。如下图所示。

滤波器

设模拟频率为f(Hz),模拟角频率就是2πf(rad/s),采样频率fs(fs≥2f),所以,数字域频率的最大值为π,如果去掉弧度,就是1。

在数字滤波器设计中,matlab中的相关函数的参数,截止频率通常限定在0~1之间,就是这个道理。对于一个采样频率为1000Hz的系统,400Hz的归一化频率就为400/500=0.8。理解这一点,不管是在学习数字信号处理,还是在工程实际中,都非常有用。

再比如,信号或者系统的幅频特性,我们信号与系统课程中,是以傅里叶变换H(jw)的模为纵轴画图,如果将其归一化,就是将|H(jw)|除以max(|H(jw)|),也就是幅频特性的最大值为1。而在数字信号处理或者工程实际中,往往是以dB为单位画图,即:将|H(jw)|除以max(|H(jw)|)再取20倍的log。这样,幅频特性的最大值就是0dB。

比如下面这四幅图,分别是两个滤波器A和B。第一列是以归一化的|H(jw)|为纵轴,第二列,就是以归一化的dB为纵轴。看滤波器B,好像看不出来幅频特性的起伏,但以dB为纵轴,这种起伏就看的很清楚。而且阻带衰减多少个dB就一目了然。滤波器A的阻带衰减在20dB左右,而滤波器B的阻带衰减超过了40dB。从这个角度来说,滤波器B的滤波性能更优。

在数字滤波器设计中,归一化也是一种常见的思想。我们常常先设计一个截止频率为1的低通滤波器(称为归一化低通滤波器),然后通过频带变换,将其变换为所需要的滤波器。

以上内容,有些属于信号与系统,有些属于数字信号处理。

网易云课堂上线的《信号与系统》课程,同学们反映不错,也有同学希望尽快上线《数字信号处理》课程。

数字信号处理,我也上过多年,可是要做成上线的网课,我个人觉得还需要较长时间的准备。就拿已经上线的信号与系统来说吧,我从04年开始上这门课,并且参加了国家精品课程、精品资源共享课程等全程授课视频的录制(是教室实录),可以说有授课视频录制的经验,但网课和教室上课区别比较大,没有黑板,节奏也要快一些,内容全部重新梳理,课件全部重新做。从去年秋季开始准备,历经近一年的时间,直到今年暑假才全部完成。

所以,数字信号处理的网课,不能一蹴而就,我的计划是先在公众号上做,后面会陆续推出一些数字信号处理方面的文章,准备充分之后再录制成视频课。请大家谅解。

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