AUC是否可以直接用作损失函数去优化呢？

引言

CTR问题我们有两种角度去理解，一种是分类的角度，即将点击和未点击作为两种类别。另一种是回归的角度，将点击和未点击作为回归的值。不管是分类问题还是回归问题，一般在预估的时候都是得到一个[0,1]之间的概率值，代表点击的可能性的大小。

如果将CTR预估问题当作回归问题，我们经常使用的损失函数是MSE；如果当作二分类问题，我们经常使用的损失函数是LogLoss。而对于一个训练好的模型，我们往往需要评估一下模型的效果，或者说泛化能力，MSE和LogLoss当然也可以作为我们的评价指标，但除此之外，我们最常用的还是AUC。

想到这里，我想到一个问题，AUC是否可以直接用作损失函数去优化呢？

说了这么多，我们还不知道AUC是什么呢？不着急，我们从二分类的评估指标慢慢说起，提醒一下，本文二分类的类别均为0和1，1代表正例，0代表负例。

1、从二分类评估指标说起

1.1 混淆矩阵

我们首先来看一下混淆矩阵，对于二分类问题，真实的样本标签有两类，我们学习器预测的类别有两类，那么根据二者的类别组合可以划分为四组，如下表所示：

上表即为混淆矩阵，其中，行表示预测的label值，列表示真实label值。TP，FP，FN，TN分别表示如下意思：

TP（true positive）：表示样本的真实类别为正，最后预测得到的结果也为正；FP（false positive）：表示样本的真实类别为负，最后预测得到的结果却为正；FN（false negative）：表示样本的真实类别为正，最后预测得到的结果却为负；TN（true negative）：表示样本的真实类别为负，最后预测得到的结果也为负.

可以看到，TP和TN是我们预测准确的样本，而FP和FN为我们预测错误的样本。

1.2 准确率Accruacy

准确率表示的是分类正确的样本数占样本总数的比例，假设我们预测了10条样本，有8条的预测正确，那么准确率即为80%。

用混淆矩阵计算的话，准确率可以表示为：

虽然准确率可以在一定程度上评价我们的分类器的性能，不过对于二分类问题或者说CTR预估问题，样本是极其不平衡的。对于大数据集来说，标签为1的正样本数据往往不足10%，那么如果分类器将所有样本判别为负样本，那么仍然可以达到90%以上的分类准确率，但这个分类器的性能显然是非常差的。

1.3 精确率Precision和召回率Recall

为了衡量分类器对正样本的预测能力，我们引入了精确率Precision和召回率Recall。

精确率表示预测结果中，预测为正样本的样本中，正确预测为正样本的概率；召回率表示在原始样本的正样本中，最后被正确预测为正样本的概率；

二者用混淆矩阵计算如下：

精确率和召回率往往是一对矛盾的指标。在CTR预估问题中，预测结果往往表示会被点击的概率。如果我们对所有的预测结果进行降序排序，排在前面的是学习器认为最可能被点击的样本，排在后面的是学习期认为最不可能被点击的样本。

如果我们设定一个阈值，在这个阈值之上的学习器认为是正样本，阈值之下的学习器认为是负样本。可以想象到的是，当阈值很高时，预测为正样本的是分类器最有把握的一批样本，此时精确率往往很高，但是召回率一般较低。相反，当阈值很低时，分类器把很多拿不准的样本都预测为了正样本，此时召回率很高，但是精确率却往往偏低。

1.4 F-1 Score

为了折中精确率和召回率的结果，我们又引入了F-1 Score，计算公式如下：

对于F1 Score有很多的变化形式，感兴趣的话大家可以参考一下周志华老师的西瓜书，我们这里就不再介绍了。

1.5 ROC与AUC

在许多分类学习器中，产生的是一个概率预测值，然后将这个概率预测值与一个提前设定好的分类阈值进行比较，大于该阈值则认为是正例，小于该阈值则认为是负例。如果对所有的排序结果按照概率值进行降序排序，那么阈值可以将结果截断为两部分，前面的认为是正例，后面的认为是负例。

我们可以根据实际任务的需要选取不同的阈值。如果重视精确率，我们可以设定一个很高的阈值，如果更重视召回率，可以设定一个很低的阈值。

到这里，我们会抛出两个问题：1)设定阈值然后再来计算精确率，召回率和F1-Score太麻烦了，这个阈值到底该设定为多少呢？有没有可以不设定阈值来直接评价我们的模型性能的方法呢？

2)排序结果很重要呀，不管预测值是多少，只要正例的预测概率都大于负例的就好了呀。

没错，ROC和AUC便可以解决我们上面抛出的两个问题。

ROC全称是“受试者工作特征”，（receiver operating characteristic）。我们根据学习器的预测结果进行排序，然后按此顺序逐个把样本作为正例进行预测，每次计算出两个重要的值，分别以这两个值作为横纵坐标作图，就得到了ROC曲线。

这两个指标是什么呢？是精确率和召回率么？并不是的，哈哈。

ROC曲线的横轴为“假正例率”（True Positive Rate,TPR)，又称为“假阳率”；纵轴为“真正例率”(False Positive Rate,FPR)，又称为“真阳率”，

假阳率，简单通俗来理解就是预测为正样本但是预测错了的可能性，显然，我们不希望该指标太高。

真阳率，则是代表预测为正样本但是预测对了的可能性，当然，我们希望真阳率越高越好。

ROC计算过程如下：1)首先每个样本都需要有一个label值，并且还需要一个预测的score值（取值0到1）;2)然后按这个score对样本由大到小进行排序，假设这些数据位于表格中的一列，从上到下依次降序;3)现在从上到下按照样本点的取值进行划分，位于分界点上面的我们把它归为预测为正样本，位于分界点下面的归为负样本;4)分别计算出此时的TPR和FPR，然后在图中绘制（FPR, TPR）点。

说这么多，不如直接看图来的简单：

AUC（area under the curve）就是ROC曲线下方的面积，如下图所示，阴影部分面积即为AUC的值：

AUC量化了ROC曲线表达的分类能力。这种分类能力是与概率、阈值紧密相关的，分类能力越好（AUC越大），那么输出概率越合理，排序的结果越合理。

在CTR预估中，我们不仅希望分类器给出是否点击的分类信息，更需要分类器给出准确的概率值，作为排序的依据。所以，这里的AUC就直观地反映了CTR的准确性（也就是CTR的排序能力）。

终于介绍完了，那么这个值该怎么计算呢？

2、AUC的计算

关于AUC的计算方法，如果仅仅根据上面的描述，我们可能只能想到一种方法，那就是积分法，我们先来介绍这种方法，然后再来介绍其他的方法。

2.1 积分思维

这里的积分法其实就是我们之前介绍的绘制ROC曲线的过程，用代码简单描述下：

auc = 0.0 height = 0.0 for each training example x_i, y_i：  if y_i = 1.0:    height = height + 1/(tp+fn)  else    auc +=  height * 1/(tn+fp) return auc

在上面的计算过程中，我们计算面积过程中隐含着一个假定，即所有样本的预测概率值不想等，因此我们的面积可以由一个个小小的矩形拼起来。但如果有两个或多个的预测值相同，我们调整一下阈值，得到的不是往上或者往右的延展，而是斜着向上形成一个梯形，此时计算梯形的面积就比较麻烦，因此这种方法其实并不是很常用。

2.2 Wilcoxon-Mann-Witney Test

关于AUC还有一个很有趣的性质，它和Wilcoxon-Mann-Witney是等价的，而Wilcoxon-Mann-Witney Test就是测试任意给一个正类样本和一个负类样本，正类样本的score有多大的概率大于负类样本的score。

根据这个定义我们可以来探讨一下二者为什么是等价的？首先我们偷换一下概念，其实意思还是一样的，任意给定一个负样本，所有正样本的score中有多大比例是大于该负类样本的score？ 由于每个负类样本的选中概率相同，那么Wilcoxon-Mann-Witney Test其实就是上面n2（负样本的个数）个比例的平均值。

那么对每个负样本来说，有多少的正样本的score比它的score大呢？是不是就是当结果按照score排序，阈值恰好为该负样本score时的真正例率TPR？没错，相信你的眼睛，是这样的！理解到这一层，二者等价的关系也就豁然开朗了。ROC曲线下的面积或者说AUC的值 与 测试任意给一个正类样本和一个负类样本，正类样本的score有多大的概率大于负类样本的score

哈哈，那么我们只要计算出这个概率值就好了呀。我们知道，在有限样本中我们常用的得到概率的办法就是通过频率来估计之。这种估计随着样本规模的扩大而逐渐逼近真实值。样本数越多，计算的AUC越准确类似，也和计算积分的时候，小区间划分的越细，计算的越准确是同样的道理。具体来说就是： 统计一下所有的 M×N(M为正类样本的数目，N为负类样本的数目)个正负样本对中，有多少个组中的正样本的score大于负样本的score。当二元组中正负样本的 score相等的时候，按照0.5计算。然后除以MN。公式表示如下：

实现这个方法的复杂度为O(n^2 )。n为样本数(即n=M+N)

2.3 Wilcoxon-Mann-Witney Test的化简

该方法和上述第二种方法原理一样，但复杂度降低了。首先对score从大到小排序，然后令最大score对应的sample的rank值为n，第二大score对应sample的rank值为n-1，以此类推从n到1。然后把所有的正类样本的rank相加，再减去正类样本的score为最小的那M个值的情况。得到的结果就是有多少对正类样本的score值大于负类样本的score值，最后再除以M×N即可。值得注意的是，当存在score相等的时候，对于score相等的样本，需要赋予相同的rank值(无论这个相等的score是出现在同类样本还是不同类的样本之间，都需要这样处理)。具体操作就是再把所有这些score相等的样本 的rank取平均。然后再使用上述公式。此公式描述如下：

有了这个公式，我们计算AUC就非常简单了，下一节我们会给出一个简单的Demo

3、AUC计算代码示例

这一节，我们给出一个AUC计算的小Demo，供大家参考：

import numpy as np label_all = np.random.randint(0,2,[10,1]).tolist() pred_all = np.random.random((10,1)).tolist() print(label_all) print(pred_all) posNum = len(list(filter(lambda s: s[0] == 1, label_all))) if (posNum > 0):    negNum = len(label_all) - posNum    sortedq = sorted(enumerate(pred_all), key=lambda x: x[1])    posRankSum = 0    for j in range(len(pred_all)):        if (label_all[j][0] == 1):            posRankSum += list(map(lambda x: x[0], sortedq)).index(j) + 1    auc = (posRankSum - posNum * (posNum + 1) / 2) / (posNum * negNum)    print("auc:", auc)

输出为：

[[1], [1], [1], [1], [0], [0], [1], [0], [1], [0]] [[0.3338126725065774], [0.916003907444231], [0.21214487870979226], [0.7598235037160891], [0.07060830328081447], [0.7650759555141832], [0.16157972737309945], [0.6526480840746645], [0.9327233203035652], [0.6581121768195201]] auc: 0.5833333333333334