基于图像的微分的：一阶微分和二阶微分（拉普拉斯算子）

前面介绍的几种滤波器都属于平滑滤波器（低通滤波器），用来平滑图像和抑制噪声的；而锐化空间滤波器恰恰相反，主要用来增强图像的突变信息，图像的细节和边缘信息。平滑滤波器主要是使用邻域的均值（或者中值）来代替模板中心的像素，消弱和邻域间的差别，以达到平滑图像和抑制噪声的目的；相反，锐化滤波器则使用邻域的微分作为算子，增大邻域间像素的差值，使图像的突变部分变的更加明显。

本位主要介绍了一下几点内容：

图像的一阶微分和二阶微分的性质

几种常见的一阶微分算子

二阶微分算子 - Laplace 拉普拉斯算子

一阶微分算子和二阶微分算子得到边缘的对比

一阶微分和二阶微分的性质

既然是基于一阶微分和二阶微分的锐化空间滤波器，那么首先就要了解下一阶和二阶微分的性质。

图像的锐化也就是增强图像的突变部分，那么我们也就对图像的恒定区域中，突变的开始点与结束点（台阶和斜坡突变）及沿着灰度斜坡处的微分的性质。微分是对函数局部变化率的一种表示，那么对于一阶微分有以下几个性质：

在恒定的灰度区域，图像的微分值为0.（灰度值没有发生变换，自然微分为0）

在灰度台阶或斜坡起点处微分值不为0.（台阶是，灰度值的突变变化较大；斜坡则是灰度值变化较缓慢；灰度值发生了变化，微分值不为0）

沿着斜坡的微分值不为0.

二阶微分，是一阶微分的导数，和一阶微分相对应，也有以下几点性质：

在恒定区域二阶微分值为0

在灰度台阶或斜坡的起点处微分值不为0

沿着斜坡的微分值为0.

从以上图像灰度的一阶和二阶微分的性质可以看出，在灰度值变化的地方，一阶微分和二阶微分的值都不为0；在灰度恒定的地方，微分值都为0.也就是说，不论是使用一阶微分还是二阶微分都可以得到图像灰度的变化值。

图像可以看着是二维离散函数，对于图像的一阶微分其计算公式如下：

对于二阶微分有：

对于图像边缘处的灰度值来说，通常有两种突变形式：

•  边缘两边图像灰度差异较大，这就形成了灰度台阶。在台阶处，一阶微分和二阶微分的值都不为0.

•  边缘两边图像灰度变化不如台阶那么剧烈，会形成一个缓慢变换的灰度斜坡。在斜坡的起点和终点一阶微分和二阶微分的值都不为0，但是沿着斜坡一阶微分的值不为0，而二阶微分的值为0.

对于图像的边缘来说，通常会形成一个斜坡过度。一阶微分在斜坡处的值不为0，那么用其得到的边缘较粗；而二阶微分在斜坡处的值为0，但在斜坡两端值不为0，且值得符号不一样，这样二阶微分得到的是一个由0分开的一个像素宽的双边缘。也就说，二阶微分在增强图像细节方面比一阶微分好得多，并且在计算上也要比一阶微分方便。

梯度图

在图像处理中的一阶微分通常使用梯度的幅值来实现。对于图像 f ( x , y ) ,f在坐标 ( x , y ) 处的梯度是一个列向量

该向量表示图像中的像素在点 ( x , y ) 处灰度值的最大变化率的方向。向量 ∇f 的幅值就是图像 f ( x , y ) 的梯度图，记为M(x,y)

M ( x , y ) 是和原图像 f( x , y ) 同大小的图像。由于求平方的根运算比较费时，通常可以使用绝对值的和来近似

从上面可以看出，要得到图像的梯度图，有以下步骤：

•  图像在 x 方向的梯度 gx  •  图像在 y 方向的梯度 gy  •  M ( x , y ) =∣gx∣+∣gy∣

一阶梯度算子

图像是以离散的形式存储，通常使用差分来计算图像的微分，常见的计算梯度的模板有以下几种

•   根据梯度的定义

可以得到模板 [ −1 1 ] 和 使用该方法计算的图像的梯度只是考虑单个像素的差值，并没有利用到图像的像素的邻域特性。

•   Robert交叉算子

在图像处理的过程中，不会只单独的对图像中的某一个像素进行运算，通常会考虑到每个像素的某个邻域的灰度变化。因此，通常不会简单的利用梯度的定义进行梯度的计算，而是在像素的某个邻域内设置梯度算子。考虑，3×3 区域的像素，使用如下矩阵表示：

令中心点 z5 表示图像中任一像素，那么根据梯度的定义，z5 在在 x 和 y 方向的梯度分别为：gx=z9−z5 和gy=z8−z6 ，梯度图像 M ( x , y )

根据上述公式，Robert在1965年提出的Robert交叉算子

•  Sobel算子

Robert交叉算子的尺寸是偶数，偶数尺寸滤波器没有对称中心计算效率较低，所以通常滤波器的模板尺寸是奇数。仍以3×3 为例，以 z5 为对称中心（表示图像中的任一像素），有

利用上述公式可以得到如下两个卷积模板，分别计算图像在 x 和 y 风向的梯度

第一个模板，第三行和第一行的差近似x方向的偏微分；第二个模板，第三列和第一列的差近似y方向的偏微分，而且模板的所有系数只和为0，表示恒定灰度区域的响应为0.

基于OpenCV的一阶梯度算子实现

•  Sobel算子

在OpenCV中封装了Sobel算子，其函数为Sobel。使用Sobel能够很方便的计算任意尺寸的x和y方向的偏微分，具体如下：

void sobel_grad(const Mat &src, Mat &dst) {    Mat grad_x, grad_y;    Sobel(src, grad_x, CV_32F, 1, 0);    Sobel(src, grad_y, CV_32F, 0, 1);        //convertScaleAbs(grad_x, grad_x);    //convertScaleAbs(grad_y, grad_y);    //addWeighted(grad_x, 0.5, grad_y, 0.5, 0, dst);    magnitude(grad_x, grad_y, dst);    convertScaleAbs(dst, dst); }

上述代码中调用Sobel分别得到图像在x和y方向的偏微分 gx 和 gy ，然后相加得到得到图像的梯度图。

其余的几个函数说明,convertScaleAbs将图像类型转换为CV_8U；addWeighted按一定的权值将两个图像相加；magnitude求两个图像的幅值，其公式为

，具体的参数说明可参考OpenCV的官方文档。

•   基于定义和Robert交叉算子的计算

对于这两种算子，OpenCV中并没有提供具体的函数，不过可以利用filter2D函数来实现。filter2D是OpenCV中对图像进行卷积运算的一个很重要的函数，该函数能够使用任意的线性卷积核对图像进行卷积运算。

void robert_grad(const Mat& src, Mat &dst) {    Mat grad_x, grad_y;    Mat kernel_x = (Mat_(2, 2) << -1, 0,0,1);    Mat kernel_y = (Mat_(2, 2) << 0, -1, 1, 0);        filter2D(src, grad_x, CV_32F, kernel_x);    filter2D(src, grad_y, CV_32F, kernel_y);    //convertScaleAbs(grad_x, grad_x);    //convertScaleAbs(grad_y, grad_y);    //addWeighted(grad_x, 1, grad_y, 1, 0, dst);    magnitude(grad_x, grad_y, dst);}

构造好Robert交叉算子，然后调用filter2D即可；基于定义的计算方法于此类似，不在赘述。

结果三种方法计算得到的梯度图，如下：

从上面结果可以看出，Robert交叉算子和基于定义得到的边缘图，得到的边缘较细并且不是很连续；Sobel得到边缘较粗，线条连续，效果明显好于其他的两种算子。

二阶微分算子 - LapLace 拉普拉斯算子

二阶微分算子的代表就是拉普拉斯算子，其定义如下：

其中：

对于上述的 3×3 区域，则有

其得到的模板如下：

注意，模板中心的符号，并且模板的所有系数之和为0.

在OpenCV中有对LapLace的封装，其函数为Laplacian,其使用的模板中心的系数为负，具体参数说明参见OpenCV文档，其得到的边缘图和一阶微分算子得到边缘图对比结果如下：

•   一阶微分算子Sobel得到的边缘较粗  •   二阶微分算子Laplace得到的边缘则较细，并且边缘是双边缘  •   Lpalace算子对噪声比较敏感，得到的边缘图像上噪声较明显

由于Laplace算子对噪声敏感，会得到双边，并且并不能检测边缘的方向，其通常不用于直接的边缘检测，只是起到辅助作用。检测某像素实在边缘的亮的一侧还是暗的一侧，利用“零跨越”确定边缘的位置。

总结

本文主要介绍了图像空间域的锐化算子（也就是边缘检测算子），这些算子都是基于图像的微分的：一阶微分和二阶微分（拉普拉斯算子）。

由于一阶微分和二阶微分有各自的特点，其得到的图像边缘也不相同：一阶微分得到的图像边缘较粗，二阶微分得到的是较细的双边缘，所以在图像的边缘增强方面二阶微分算子的效果较好。