电子说
1.引言
顶级数据挖掘会议ICDM于2006年12月评选出了数据挖掘领域的十大经典算法:C4.5, k-Means, SVM, Apriori, EM, PageRank, AdaBoost, kNN, Naïve Bayes与 CART。 以前看过关于这些数据挖掘算法,但对背后数学原理未做过多探究,因而借此整理以更深入地理解这些算法。
本文讨论的kNN算法是监督学习中分类方法的一种。所谓监督学习与非监督学习,是指训练数据是否有标注类别,若有则为监督学习,若否则为非监督学习。监督学习是根据输入数据(训练数据)学习一个模型,能对后来的输入做预测。在监督学习中,输入变量与输出变量可以是连续的,也可以是离散的。若输入变量与输出变量均为连续变量,则称为回归;输出变量为有限个离散变量,则称为分类;输入变量与输出变量均为变量序列,则称为标注[2]。
2.kNN算法
kNN算法的核心思想非常简单:在训练集中选取离输入的数据点最近的k个邻居,根据这个k个邻居中出现次数最多的类别(最大表决规则),作为该数据点的类别。
算法描述
训练,其类别,训练集中样本点数为N,类别数为K。输入待预测数据,则预测类别
其中,涵盖的k邻域记作,当时指示函数,否则。
分类决策规则
kNN学习模型:输入,通过学习得到决策函数:输出类别。假设分类损失函数为0-1损失函数,即分类正确时损失函数值为0,分类错误时则为1。假如给预测类别为,即;同时由式子(1)可知k邻域的样本点对学习模型的贡献度是均等的,则kNN学习模型误分类率为
若要最小化误分类率,则应
所以,最大表决规则等价于经验风险最小化。
存在问题
k值得选取对kNN学习模型有着很大的影响。若k值过小,预测结果会对噪音样本点显得异常敏感。特别地,当k等于1时,kNN退化成最近邻算法,没有了显式的学习过程。若k值过大,会有较大的邻域训练样本进行预测,可以减小噪音样本点的减少;但是距离较远的训练样本点对预测结果会有贡献,以至于造成预测结果错误。下图给出k值的选取对于预测结果的影响:
前面提到过,k邻域的样本点对预测结果的贡献度是相等的;但距离更近的样本点应有更大的相似度,其贡献度应比距离更远的样本点大。可以加上权值进行修正,则最大表决原则变成:
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