什么是张量，如何在PyTorch中操作张量?

DataCamp的Sayak Paul带你入门张量、PyTorch。

在深度学习中，常常看到张量是数据结构的基石这一说法。Google的机器学习库TensorFlow甚至都以张量（tensor）命名。张量是线性代数中用到的一种数据结构，类似向量和矩阵，你可以在张量上进行算术运算。

PyTorch（Facebook创建的python包，提供两个高层特性：1) 类似Numpy的基于GPU加速的张量运算 2) 在基于回放（tape-based）的自动微分系统之上构建的深度神经网络。

本教程将介绍什么是张量，如何在PyTorch中操作张量：

张量介绍

PyTorch介绍

PyTorch安装步骤

PyTorch下的一些张量操作

基于PyTorch实现一个简单的神经网络

闲话少叙，让我们开始介绍张量吧。

张量介绍

张量是向量和矩阵的推广，可以理解为多维数组。知名的《深度学习》（Goodfellow等编写）是这样介绍张量的：

在一般意义上，以基于可变数目的轴的规则网格组织的一组数字称为张量。

标量是零阶张量。向量是一阶张量，矩阵是二阶张量。

下面是张量的示意图：

现在让我们以更清晰易懂的方式构建张量背后的直觉。

张量是现代机器学习的基本构建。它是一个数据容器，大多数情况下包含数字，有时可能包含字符串（不过这罕见）。所以可以把张量想象成一桶数字。

人们经常混用张量和多维数组。不过有时需要严格区分两者，如StackExchange指出：

张量和多维数组是不同类型的对象。前者是一种函数，后者是适宜在坐标系统中表示张量的一种数据结构。

在数学上，张量由多元线性函数定义。一个多元线性函数包含多个向量变量。张量域是张量值函数。更严谨的数学解释，可以参考https://math.stackexchange.com/q/10282

所以，张量是需要定义的函数或容器。实际上，当数据传入时，计算才真正发生。当不需要严格区分数组和张量的时候，数组或多维数组(1D, 2D, …, ND)一般可以视作张量。

现在我们稍微讲下张量表述（Tensor notation）。

张量表述和矩阵类似，一般用大写字母表示张量，带整数下标的小写字母表示张量中的标量值。

标量、向量、矩阵的许多运算同样适用于张量。

张量和张量代数是物理和工程领域广泛使用的工具。机器学习的许多技术，深度学习模型的训练和操作，常常使用张量这一术语进行描述。

PyTorch介绍

PyTorch是一个非常灵活的基于Python的深度学习研究平台。

PyTorch特性

提供各种张量的常规操作。

基于回放的自动微分系统。

不同于TensorFlow、Theano、Caffe、CNTK等大多数框架采用的静态图系统，PyTorch采用动态图系统。

最小化框架开销，可基于GPU加速。

相比Torch等替代品，PyTorch的内存使用非常高效。这让你可以训练比以往更大的深度学习模型。

Kirill Dubovikov写的PyTorch vs TensorFlow — spotting the difference比较了PyTorch和TensorFlow这两个框架。如果你想了解TensorFlow，可以看看Karlijn Willems写的教程TensorFlow Tutorial For Beginners。

PyTorch安装步骤

PyTorch的安装很简单。如果你的显卡支持，可以安装GPU版本的PyTorch。

你可以使用pip安装torch、torchvision这两个包，也可以使用conda安装pytorch torchvision这两个包。注意，Windows平台上，PyTorch不支持Python 2.7，需要基于Python 3.5以上的版本安装。

具体的安装命令可以通过PyTorch官网查询： https://pytorch.org/get-started/locally/

好了，下面让我们直接深入PyTorch下的一些张量算术。

PyTorch下的一些张量操作

首先，导入所需的库：

import torch

如果出现报错，说明PyTorch没有安装成功，请参考上一节重新安装。

现在，我们构造一个5×3的矩阵：

x = torch.rand(5, 3)

print(x)

输出：

tensor([[ 0.5991,  0.9365,  0.6120],

[ 0.3622,  0.1408,  0.8811],

[ 0.6248,  0.4808,  0.0322],

[ 0.2267,  0.3715,  0.8430],

[ 0.0145,  0.0900,  0.3418]])

再构造一个5×3的矩阵，不过这次用零初始化，并指定数据类型为long：

x = torch.zeros(5, 3, dtype=torch.long)

print(x)

输出：

tensor([[ 0,  0,  0],

[ 0,  0,  0],

[ 0,  0,  0],

[ 0,  0,  0],

[ 0,  0,  0]])

构造张量时直接提供数据：

x = torch.tensor([5.5, 3])

print(x)

输出：

tensor([ 5.5000,  3.0000])

如果你想检验下自己是否理解了PyTorch中的张量，那可以思考下上面的张量x是什么类别的。

基于已有张量，可以创建新张量——新张量会复用输入张量的属性，比如dtype（数据类型），除非另外给出新值：

x = x.new_ones(5, 3, dtype=torch.double)    

print(x)

x = torch.randn_like(x, dtype=torch.float)    

print(x)

输出：

tensor([[ 1.,  1.,  1.],

[ 1.,  1.,  1.],

[ 1.,  1.,  1.],

[ 1.,  1.,  1.],

[ 1.,  1.,  1.]], dtype=torch.float64)

tensor([[-1.2174,  1.1807,  1.4249],

[-1.1114, -0.8098,  0.4003],

[ 0.0780, -0.5011, -1.0985],

[ 1.8160, -0.3778, -0.8610],

[-0.7109, -2.0509, -1.2079]])

获取张量的尺寸：

print(x.size())

输出：

torch.Size([5, 3])

注意，torch.Size事实上是一个元组，支持所有元组操作。

现在，让我们看下张量的加法。

张量加法

两个张量分素相加，得到维度一致的张量，结果张量中每个标量的值是相应标量的和。

y = torch.rand(5, 3)

print(x)

print(y)

print(x + y)

输出：

tensor([[-1.2174,  1.1807,  1.4249],

[-1.1114, -0.8098,  0.4003],

[ 0.0780, -0.5011, -1.0985],

[ 1.8160, -0.3778, -0.8610],

[-0.7109, -2.0509, -1.2079]])

tensor([[ 0.8285,  0.7619,  0.1147],

[ 0.1624,  0.8994,  0.6119],

[ 0.2802,  0.2950,  0.7098],

[ 0.8132,  0.3382,  0.4383],

[ 0.6738,  0.2022,  0.3264]])

tensor([[-0.3889,  1.9426,  1.5396],

[-0.9490,  0.0897,  1.0122],

[ 0.3583, -0.2061, -0.3887],

[ 2.6292, -0.0396, -0.4227],

[-0.0371, -1.8487, -0.8815]])

除了使用+运算符外，也可以调用torch.add方法（两者是等价的）：

print(torch.add(x, y))

下面我们来看张量减法。

张量减法

两个张量分素相减，得到维度一致的张量，结果张量中每个标量的值是相应标量之差。

接着我们将讨论张量相乘。

张量乘法

假设mat1是一个(n×m)的张量，mat2是一个(m×p)的张量，两者相乘，将得到一个(n×p)的张量。

mat1 = torch.randn(2, 3)

mat2 = torch.randn(3, 3)

print(mat1)

print(mat2)

print(torch.mm(mat1, mat2))

输出：

tensor([[ 1.9490, -0.6503, -1.9448],

[-0.7126,  1.0519, -0.4250]])

tensor([[ 0.0846,  0.4410, -0.0625],

[-1.3264, -0.5265,  0.2575],

[-1.3324,  0.6644,  0.3528]])

tensor([[ 3.6185, -0.0901, -0.9753],

[-0.8892, -1.1504,  0.1654]])

注意，torch.mm()不支持广播（broadcast）。

广播

“广播”这一术语用于描述如何在形状不一的数组上应用算术运算。在满足特定限制的前提下，较小的数组“广播至”较大的数组，使两者形状互相兼容。广播提供了一个向量化数组操作的机制，这样遍历就发生在C层面，而不是Python层面。广播可以避免不必要的数据复制，通常导向高效的算法实现。不过，也存在不适用广播的情形（可能导致拖慢计算过程的低效内存使用）。

可广播的一对张量需满足以下规则：

每个张量至少有一个维度。

迭代维度尺寸时，从尾部的维度开始，维度尺寸或者相等，或者其中一个张量的维度尺寸为一，或者其中一个张量不存在这个维度。

让我们通过几段代码来理解PyTorch的广播机制。

x=torch.empty(5,7,3)

y=torch.empty(5,7,3)

相同形状的张量总是可广播的，因为总能满足以上规则。

x=torch.empty((0,))

y=torch.empty(2,2)

不可广播（x不满足第一条规则）。

# 为了清晰易读，可以对齐尾部

x=torch.empty(5,3,4,1)

y=torch.empty(  3,1,1)

x和y可广播：

倒数第一个维度：两者的尺寸均为1

倒数第二个维度：y尺寸为1

倒数第三个维度：两者尺寸相同

倒数第四个维度：y该维度不存在

但下面一对就不可广播了：

x=torch.empty(5,2,4,1)

y=torch.empty(  3,1,1)

这是因为倒数第三个维度：2 != 3

现在你对“可广播”这一概念已经有所了解了，让我们看下，广播后的张量是什么样的。

如果张量x和张量y是可广播的，那么广播后的张量尺寸按照如下方法计算：

如果x和y的维数不等，在维数较少的张量上添加尺寸为1的维度。结果维度尺寸是x和y相应维度尺寸的较大者。例如：

x=torch.empty(5,1,4,1)

y=torch.empty(  3,1,1)

(x+y).size()

输出：

torch.Size([5, 3, 4, 1])

再如：

x=torch.empty(1)

y=torch.empty(3,1,7)

(x+y).size()

输出：

torch.Size([3, 1, 7])

再看一个不可广播的例子：

x=torch.empty(5,2,4,1)

y=torch.empty(3,1,1)

(x+y).size()

报错：

---------------------------------------------------------------------------

RuntimeError                              Traceback (most recent call last)

in ()

1 x=torch.empty(5,2,4,1)

2 y=torch.empty(3,1,1)

----> 3 (x+y).size()

RuntimeError: The size of tensor a (2) must match the size of tensor b (3) at non-singleton dimension 1

你现在应该已经掌握了广播这个概念了！

张量乘积是最常见的张量乘法，但也存在其他种类的张量乘法，例如张量点积和张量缩并。

借助Numpy桥，PyTorch张量和NumPy数组之间的互相转换极其迅速。下面就让我们来了解一下这个概念。

NumPy桥

NumPy桥使得PyTorch张量和NumPy数组共享底层内存地址，对其中之一的修改会反映到另一个上。

转换PyTorch张量至NumPy数组。

a = torch.ones(5)

b = a.numpy()

print(a)

print(b)

输出：

tensor([ 1.,  1.,  1.,  1.,  1.])

[1.1.1.1.1.]

在这一节中，我们讨论了一些基本的张量算术，例如加法、减法、张量乘积。下一节我们将使用PyTorch实现一个基本的神经网络。

基于PyTorch实现一个简单的神经网络

如果你想要温习一下神经网络的概念，可以参考以下文章：

初窥神经网络内部机制

从头开始搭建三层神经网络

基于Numpy实现神经网络：反向传播、梯度下降

在实现神经网络之前，我们先来讨论一下自动微分，这是PyTorch下所有神经网络的核心，在进行反向传播计算梯度时尤其有用。

PyTorch的autograd模块为张量的所有运算提供了自动微分。这是一个define-by-run框架，也就是说，反向传播由代码如何运行定义，每个迭代都可以不一样。

让我们直接用代码展示自动微分是如何工作的。

x = torch.ones(2, 2, requires_grad=True)

print(x)

输出：

tensor([[ 1.,  1.],

[ 1.,  1.]])

进行加法运算：

y = x + 2

print(y)

输出：

tensor([[ 3.,  3.],

[ 3.,  3.]])

再进行一些运算：

z = y * y * 3

out = z.mean()

print(z)

print(out)

输出：

tensor([[ 27.,  27.],

[ 27.,  27.]])

tensor(27.)

现在让我们进行反向传播：

out.backward()

print(x.grad)

自动微分给出的梯度为：

tensor([[ 4.5000,  4.5000],

[ 4.5000,  4.5000]])

感兴趣的读者可以手工验证下梯度。

了解了PyTorch如何进行自动微分之后，让我们使用PyTorch编码一个简单的神经网络。

我们将创建一个简单的神经网络，包括一个隐藏层，一个输出层。隐藏层使用ReLU激活，输出层使用sigmoid激活。

构建神经网络需要引入torch.nn模块：

import torch.nn as nn

接着定义网络层尺寸和batch尺寸：

n_in, n_h, n_out, batch_size = 10, 5, 1, 10

现在生成一些输入数据x和目标数据y，并使用PyTorch张量存储这些数据。

x = torch.randn(batch_size, n_in)

y = torch.tensor([[1.0], [0.0], [0.0], [1.0], [1.0], [1.0], [0.0], [0.0], [1.0], [1.0]])

接下来，只需一行代码就可以定义我们的模型：

model = nn.Sequential(nn.Linear(n_in, n_h),

nn.ReLU(),

nn.Linear(n_h, n_out),

nn.Sigmoid())

我们创建了一个输入 -> 线性 -> relu -> 线性 -> sigmoid的模型。对于需要更多自定义功能的更加复杂的模型，可以定义一个类，具体请参考PyTorch文档。

现在，我们需要构造损失函数。我们将使用均方误差：

criterion = torch.nn.MSELoss()

然后定义优化器。我们将使用强大的随机梯度下降算法，学习率定为0.01.model.parameters()会返回一个模型参数（权重、偏置）上的迭代器。

optimizer = torch.optim.SGD(model.parameters(), lr=0.01)

下面我们跑50个epoch，这依次包括前向传播、损失计算、反向传播和参数更新。

for epoch in range(50):

# 前向传播

y_pred = model(x)

# 计算并打印损失

loss = criterion(y_pred, y)

print('epoch: ', epoch,' loss: ', loss.item())

# 梯度归零

optimizer.zero_grad()

# 反向传播

loss.backward()

# 更新参数

optimizer.step()

输出：

epoch:  0  loss:  0.2399429827928543

epoch:  1  loss:  0.23988191783428192

epoch:  2  loss:  0.23982088267803192

epoch:  3  loss:  0.2397598922252655

epoch:  4  loss:  0.23969893157482147

epoch:  5  loss:  0.23963800072669983

epoch:  6  loss:  0.23957709968090057

epoch:  7  loss:  0.23951618373394012

epoch:  8  loss:  0.23945537209510803

epoch:  9  loss:  0.23939454555511475

epoch:  10  loss:  0.23933371901512146

epoch:  11  loss:  0.23927298188209534

epoch:  12  loss:  0.23921218514442444

epoch:  13  loss:  0.23915143311023712

epoch:  14  loss:  0.2390907108783722

epoch:  15  loss:  0.23903003334999084

epoch:  16  loss:  0.23896940052509308

epoch:  17  loss:  0.23890872299671173

epoch:  18  loss:  0.23884813487529755

epoch:  19  loss:  0.23878750205039978

epoch:  20  loss:  0.23872694373130798

epoch:  21  loss:  0.2386663407087326

epoch:  22  loss:  0.2386058121919632

epoch:  23  loss:  0.23854532837867737

epoch:  24  loss:  0.23848481476306915

epoch:  25  loss:  0.23842433094978333

epoch:  26  loss:  0.2383638620376587

epoch:  27  loss:  0.23830339312553406

epoch:  28  loss:  0.2382429838180542

epoch:  29  loss:  0.23818258941173553

epoch:  30  loss:  0.2381247729063034

epoch:  31  loss:  0.2380656749010086

epoch:  32  loss:  0.23800739645957947

epoch:  33  loss:  0.2379491776227951

epoch:  34  loss:  0.2378900945186615

epoch:  35  loss:  0.23783239722251892

epoch:  36  loss:  0.23777374625205994

epoch:  37  loss:  0.23771481215953827

epoch:  38  loss:  0.23765745759010315

epoch:  39  loss:  0.23759838938713074

epoch:  40  loss:  0.23753997683525085

epoch:  41  loss:  0.2374821901321411

epoch:  42  loss:  0.23742322623729706

epoch:  43  loss:  0.23736533522605896

epoch:  44  loss:  0.23730707168579102

epoch:  45  loss:  0.23724813759326935

epoch:  46  loss:  0.23719079792499542

epoch:  47  loss:  0.23713204264640808

epoch:  48  loss:  0.23707345128059387

epoch:  49  loss:  0.2370160073041916

PyTorch的写法很清晰，配上注释，应该不难理解。如果仍有不解之处，可以参考下面的讲解：

y_pred获取模型一次前向传播的预测值。y_pred和目标变量y一起传给criterion以计算损失。

接着，optimizer.zero_grad()清空上一次迭代的梯度。

接下来的loss.backward()集中体现了PyTorch的神奇之处——这里用到了PyTorch的Autograd（自动计算梯度）特性。Autograd基于动态创建的计算图自动计算所有参数上的梯度。总的来说，这一步进行的是梯度下降和反向传播。

最后，我们调用optimizer.step()，使用新的梯度更新一次所有参数。

恭喜你读到了这篇长文的结尾。这篇文章从张量讲到了自动微分，同时基于PyTorch及其张量系统实现了一个简单的神经网络。

如果你想了解更多关于PyTorch的内容，或想进一步深入，请阅读PyTorch的官方文档和教程，这些文档和教程写得非常好。你可以从PyTorch官网找到这些文档和教程。

撰写这篇教程的时候，我参考了以下内容：

Daniel A. Fleisch的《A Student's Guide to Vectors and Tensors》

PyTorch官方文档

Jason Brownlee写的A Gentle Introduction to Tensors for Machine Learning with NumPy

如果有问题要问，或者有想法要讨论，欢迎留言！

如果你打算进一步学习Python，可以参加DataCamp的Statistical Thinking in Python课程。