TensorFlow在机器学习和模拟偏微分方程中的应用

TensorFlow 不仅仅可以用于机器学习。在此教程中，我们所举的例子（较为寻常）是使用 TensorFlow 模拟偏微分方程的行为（https://en.wikipedia.org/wiki/Partial_differential_equation）。我们将模拟几个雨滴落在方形池塘水面的情形。

基本设置

需要导入一些库。

#Import libraries for simulationimport tensorflow as tfimport numpy as np#Imports for visualizationimport PIL.Imagefrom io import BytesIOfrom IPython.display import clear_output, Image, display

将池塘水面的状态显示为图像的函数。

def DisplayArray(a, fmt='jpeg', rng=[0,1]):  """Display an array as a picture."""  a = (a - rng[0])/float(rng[1] - rng[0])*255  a = np.uint8(np.clip(a, 0, 255))  f = BytesIO()  PIL.Image.fromarray(a).save(f, fmt)  clear_output(wait = True)  display(Image(data=f.getvalue()))

接下来，我们发起一个互动式 TensorFlow 会话，以方便练习。如果我们使用可执行的 .py 文件进行模拟，则常规会话一样可行。

sess = tf.InteractiveSession()

计算便利函数

def make_kernel(a):

"""Transform a 2D array into a convolution kernel"""  a = np.asarray(a)  a = a.reshape(list(a.shape) + [1,1])  return tf.constant(a, dtype=1)def simple_conv(x, k):  """A simplified 2D convolution operation"""  x = tf.expand_dims(tf.expand_dims(x, 0), -1)  y = tf.nn.depthwise_conv2d(x, k, [1, 1, 1, 1], padding='SAME')  return y[0, :, :, 0]def laplace(x):  """Compute the 2D laplacian of an array"""  laplace_k = make_kernel([[0.5, 1.0, 0.5],                           [1.0, -6., 1.0],                           [0.5, 1.0, 0.5]])  return simple_conv(x, laplace_k)

定义 PDE

我们的池塘是一个完美的 500 x 500 正方形，就像自然界中的大多数池塘一样。

N = 500

接下来，我们创建池塘，并在其表面落入一些雨滴。

# Initial Conditions -- some rain drops hit a pond

# Set everything to zerou_init = np.zeros([N, N], dtype=np.float32)ut_init = np.zeros([N, N], dtype=np.float32)# Some rain drops hit a pond at random pointsfor n in range(40):  a,b = np.random.randint(0, N, 2)  u_init[a,b] = np.random.uniform()DisplayArray(u_init, rng=[-0.1, 0.1])

现在，我们指定微分方程的详细信息。

# Parameters:

# eps -- time resolution# damping -- wave dampingeps = tf.placeholder(tf.float32, shape=())damping = tf.placeholder(tf.float32, shape=())# Create variables for simulation stateU  = tf.Variable(u_init)Ut = tf.Variable(ut_init)# Discretized PDE update rulesU_ = U + eps * UtUt_ = Ut + eps * (laplace(U) - damping * Ut)# Operation to update the statestep = tf.group(  U.assign(U_),  Ut.assign(Ut_))

运行模拟

情况变得有趣起来 - 使用简单的 for 循环让其持续运行。

# Initialize state to initial conditions

tf.global_variables_initializer().run()# Run 1000 steps of PDEfor i in range(1000):  # Step simulation  step.run({eps: 0.03, damping: 0.04})  DisplayArray(U.eval(), rng=[-0.1, 0.1])