离散信号的频域分析之傅里叶变换的应用

描述

本文是离散信号的频域分析(共5节)中的第5节——傅里叶变换的应用的第一篇。

在开始学习之前,提醒大家,本节内容的学习,需要用到前面DTFT、DFT以及FFT的知识。如果前面这些内容没有掌握的话,那就不具备继续学习本节内容的条件。当然,本节内容的学习,可以加深对前面这几个问题的深化理解。

离散信号

本节内容分为两部分:5.1 FFT分析信号频谱;5.2 FFT实现线性卷积。本文是第一部分:FFT分析信号频谱。

5.1  FFT分析信号频谱

1. 用FFT实现频谱分析的基本过程

我们知道,现实世界中的绝大多数物理量都是以连续变化的形式存在的,而做为离散傅里叶变换,只能处理有限长的离散数据。所以对信号进行FFT之前,必须首先将其进行离散化处理并截取合适的长度。

下图为用FFT实现频谱分析的基本过程。

离散信号

下面我们详细来看具体每一步对信号做了什么样的处理,我们重点关注这些处理对信号的频谱特征有什么样的影响。

2. 时域抽样

第一步为时域抽样,我们已经学习过。其作用是将连续时间信号按照一定的抽样间隔离散化,得到离散数据。时域抽样包含两个过程:

首先,将连续时间信号通过理想低通滤波器,该滤波器又称为“抗混叠滤波器”,作用是滤除高于抽样频率一半的高频分量,防止抽样时发生频谱混叠。

然后,对信号进行抽样。抽样后得到离散时间信号x(n),其频谱,能否代表原来的连续时间信号的频谱信息呢?

当然能!因为只要满足抽样定理,抽样后的离散数值就可以完全代表原来连续时间信号的信息。但问题是,离散时间信号的频谱,已经是数字域频率,携带的频率信息,需要转换为模拟频率,如何转换?

这个问题,本公号前面有文章专门论述,链接如下:

数字信号处理系列(离散信号的频域分析之二)——数字域频率与模拟角频率

本文不再重复,只给出结论。

离散信号

根据上图的公式反推:

模拟角频率 = 数字域频率 * 抽样频率fs

3. 时域加窗

下面我们分析第二步——时域加窗。

从三个方面来看:第一,为什么要加窗?第二,怎样实现加窗?第三,加窗有什么影响?

首先看,为什么要加窗?无他,因为数据太长太多,处理不了啊,臣妾做不到;或者是处理时间太长,臣妾等不及啊。更有甚者,有时输入信号是无限长的,总不能等到世界末日再去处理吧?

然后看,怎样实现加窗?

最简单加窗方式,就是将很长很长的数据,与矩形脉冲RN(n)相乘,就实现了截取n=0~N-1这N个点。RN(n)称为“矩形窗”。

除了矩形窗,有没有其他形式的窗呢?有,但这是后话,以后再讲。

这里重点分析第三个问题——加窗有什么影响?

先看一般的信号,如下图所示,频谱为示意图。根据“时域相乘,频域卷积”,加窗后信号的频谱,是原来的频谱X(w)与矩形窗的频谱W(w)做卷积,那么,卷积后的频谱(也即加窗后的频谱)是什么样子呢?和很多因素有关(原始信号的频谱、窗函数的频谱、长度等等)。从何处入手来分析呢?

离散信号

我们知道,正弦信号是基本信号,因为复杂信号可以看是一个个不同频率的正弦信号组合而成,所以下面首先分析正弦信号。

离散信号

我们知道,无限长正弦信号的频谱为正负w0处的冲激,如下图(a),矩形窗的频谱,如下图(b)。二者卷积后(也就是N点长的正弦信号)的频谱,如图(c)。

离散信号

比较图(a)和图(c),可以看到,加窗后信号的频谱与加窗前相比,发生了哪些变化呢?变宽了,原来窄窄的一条(瘦成闪电)变成宽宽的胖子,而且出现起伏的尾巴。

用术语说,就是:

时域加窗,导致频谱的扩散——拖尾、变宽,称为频谱泄漏( Leakage )。

为什么变胖?是因为矩形窗函数的频谱胖(主瓣)。胖的程度,取决于N。N越小主瓣越宽,则越胖。所以,我们要想减少主瓣泄露,可以适当增大N。

为什么出现尾巴?是因为矩形窗函数的频谱有起伏(旁瓣)。要想减小旁瓣泄露,就要降低窗函数旁瓣的幅度。

但是,我们知道,矩形窗函数,旁瓣幅度与主瓣幅度之比是一定的(-13dB左右),增大N并不能改变这一数值。那么,如何是好呢?

对数据加矩形窗是我们很自然的行为,因为它不改变截取部分信号的取值。但是矩形窗在起点和终点都是不连续的,也就是说,数据是突然开始、突然结束的。从物理概念上很好解释,这种时域上的突然变化,意味着频域上存在高频分量。如果抑制了这些高频分量,就能够降低旁瓣幅度。因此从这样一个角度,直观上就可以想到,窗函数的起始处和结束处越平坦,对旁瓣的抑制就应该越好。关于窗函数的内容,我们后面会专门学习。

前面分析了加窗对信号频谱的影响,总结一句话:时域加窗,会导致频谱泄露——频谱展宽、拖尾。同时,我们必须认识到,在进行DFT运算时,时域加窗是必须的,因此泄漏现象是离散傅里叶变换所固有的,无法消除,只能在计算量等容许的范围内,尽量抑制泄露现象。 

4. 频域抽样(DFT)

经过前面两步,数据离散化了,也是有限长的了,准备工作终于完成了,可以做DFT了。

DFT,也就是频域抽样。其实质就是对信号v(n)的频谱(DTFT)离散化,[0,2Π]区间上离散化成N个点,就是N点DFT。注意,这个N是指DFT的点数,而不是前文中的信号长度。

v(n)的频谱也就是上图中的(c),但我们首先需要把图(c)变一下。

为什么需要变一下呢?所有离散时间信号的频谱,都是以2Π为周期的,图(a)(b)(c)实际上画出的是-Π~Π区间内的图形。为了和DFT的研究区间一致([0,2Π]),我们把图(c)变成[0,2Π]区间,也就是下图(d)。

离散信号

然后,把它以2Π/N为间隔离散化,得到的就是最后的结果V(k)。如下图(e)所示。

离散信号

理论分析讲完了,最后出一个题。

离散信号

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