GBDT算法原理以及实例理解

写在前面：去年学习GBDT之初，为了加强对算法的理解，整理了一篇笔记形式的文章，发出去之后发现阅读量越来越多，渐渐也有了评论，评论中大多指出来了笔者理解或者编辑的错误，故重新编辑一版文章，内容更加翔实，并且在GitHub上实现了和本文一致的GBDT简易版（包括回归、二分类、多分类以及可视化），供大家交流探讨。感谢各位的点赞和评论，希望继续指出错误~Github：

简介：

GBDT 的全称是 Gradient Boosting Decision Tree，梯度提升树，在传统机器学习算法中，GBDT算的上TOP3的算法。想要理解GBDT的真正意义，那就必须理解GBDT中的Gradient Boosting 和Decision Tree分别是什么？

1. Decision Tree：CART回归树

首先，GBDT使用的决策树是CART回归树，无论是处理回归问题还是二分类以及多分类，GBDT使用的决策树通通都是都是CART回归树。为什么不用CART分类树呢？因为GBDT每次迭代要拟合的是梯度值，是连续值所以要用回归树。

对于回归树算法来说最重要的是寻找最佳的划分点，那么回归树中的可划分点包含了所有特征的所有可取的值。在分类树中最佳划分点的判别标准是熵或者基尼系数，都是用纯度来衡量的，但是在回归树中的样本标签是连续数值，所以再使用熵之类的指标不再合适，取而代之的是平方误差，它能很好的评判拟合程度。

回归树生成算法：

输入：训练数据集D:输出：回归树f(x).在训练数据集所在的输入空间中，递归的将每个区域划分为两个子区域并决定每个子区域上的输出值，构建二叉决策树：（1）选择最优切分变量jj与切分点s，求解

遍历变量j，对固定的切分变量j扫描切分点s，选择使得上式达到最小值的对(j,s).

（2）用选定的对(j,s)划分区域并决定相应的输出值：

（3）继续对两个子区域调用步骤（1）和（2），直至满足停止条件。

（4）将输入空间划分为M个区域，生成决策树：

2. Gradient Boosting：拟合负梯度

梯度提升树（Grandient Boosting）是提升树（Boosting Tree）的一种改进算法，所以在讲梯度提升树之前先来说一下提升树。

先来个通俗理解：假如有个人30岁，我们首先用20岁去拟合，发现损失有10岁，这时我们用6岁去拟合剩下的损失，发现差距还有4岁，第三轮我们用3岁拟合剩下的差距，差距就只有一岁了。如果我们的迭代轮数还没有完，可以继续迭代下面，每一轮迭代，拟合的岁数误差都会减小。最后将每次拟合的岁数加起来便是模型输出的结果。

提升树算法：

（1） 初始化

（2）对m=1,2,…,M （a）计算残差

（b）拟合残差学习一个回归树，得到

（c） 更新

（3）得到回归问题提升树

上面伪代码中的残差是什么？在提升树算法中，假设我们前一轮迭代得到的强学习器是

损失函数是

我们本轮迭代的目标是找到一个弱学习器

最小化本轮的损失

当采用平方损失函数时

这里，

是当前模型拟合数据的残差（residual）。所以，对于提升树来说只需要简单地拟合当前模型的残差。  回到我们上面讲的那个通俗易懂的例子中，第一次迭代的残差是10岁，第二次残差4岁...

当损失函数是平方损失和指数损失函数时，梯度提升树每一步优化是很简单的，但是对于一般损失函数而言，往往每一步优化起来不那么容易，针对这一问题，Freidman提出了梯度提升树算法，这是利用最速下降的近似方法，其关键是利用损失函数的负梯度作为提升树算法中的残差的近似值。那么负梯度长什么样呢？第t轮的第i个样本的损失函数的负梯度为：

此时不同的损失函数将会得到不同的负梯度，如果选择平方损失

负梯度为

此时我们发现GBDT的负梯度就是残差，所以说对于回归问题，我们要拟合的就是残差。  那么对于分类问题呢？二分类和多分类的损失函数都是log loss，本文以回归问题为例进行讲解。

3. GBDT算法原理

上面两节分别将Decision Tree和Gradient Boosting介绍完了，下面将这两部分组合在一起就是我们的GBDT了。

GBDT算法：（1）初始化弱学习器

（2）对m=1,2,…,M有：

（a）对每个样本i=1,2,…,N，计算负梯度，即残差

（b）将上步得到的残差作为样本新的真实值，并将数据作为下棵树的训练数据，得到一颗新的回归树，其对应的叶子节点区域为，。其中J为回归树t的叶子节点的个数。

（c）对叶子区域j =1,2,..J计算最佳拟合值

（d）更新强学习器

（3）得到最终学习器

4. 实例详解

==本人用python以及pandas库实现GBDT的简易版本，在下面的例子中用到的数据都在github可以找到，大家可以结合代码和下面的例子进行理解，欢迎star~==   Github：https://github.com/Freemanzxp/GBDT_Simple_Tutorial

数据介绍：

如下表所示：一组数据，特征为年龄、体重，身高为标签值。共有5条数据，前四条为训练样本，最后一条为要预测的样本。

训练阶段：

参数设置：

学习率：learning_rate=0.1

迭代次数：n_trees=5

树的深度：max_depth=3

1.初始化弱学习器:

损失函数为平方损失，因为平方损失函数是一个凸函数，直接求导，倒数等于零，得到c。

令导数等于0

所以初始化时，c取值为所有训练样本标签值的均值。c=(1.1+1.3+1.7+1.8)/4=1.475，此时得到初始学习器

2.对迭代轮数m=1，2,…,M:  由于我们设置了迭代次数：n_trees=5，这里的M=5。  计算负梯度，根据上文损失函数为平方损失时，负梯度就是残差残差，再直白一点就是 y与上一轮得到的学习器的差值

残差在下表列出：

此时将残差作为样本的真实值来训练弱学习器，即下表数据：

接着，寻找回归树的最佳划分节点，遍历每个特征的每个可能取值。从年龄特征的5开始，到体重特征的70结束，分别计算分裂后两组数据的平方损失（Square Error），左节点平方损失，右节点平方损失，找到使平方损失和最小的那个划分节点，即为最佳划分节点。

例如：以年龄7为划分节点，将小于7的样本划分为到左节点，大于等于7的样本划分为右节点。

左节点包括，右节点包括样本，，所有可能划分情况如下表所示：

以上划分点是的总平方损失最小为0.025有两个划分点：年龄21和体重60，所以随机选一个作为划分点，这里我们选年龄21  现在我们的第一棵树长这个样子：

我们设置的参数中树的深度max_depth=3，现在树的深度只有2，需要再进行一次划分，这次划分要对左右两个节点分别进行划分：

对于左节点，只含有0,1两个样本，根据下表我们选择年龄7划分

对于右节点，只含有2,3两个样本，根据下表我们选择年龄30划分（也可以选体重70）

现在我们的第一棵树长这个样子：

此时我们的树深度满足了设置，还需要做一件事情，给这每个叶子节点分别赋一个参数Υ，来拟合残差。

这里其实和上面初始化学习器是一个道理，平方损失求导，令导数等于零，化简之后得到每个叶子节点的参数Υ，其实就是标签值的均值。这个地方的标签值不是原始的 y，而是本轮要拟合的标残差。

根据上述划分结果，为了方便表示，规定从左到右为第1,2,3,4个叶子结点

此时的树长这个样子：

此时可更新强学习器，需要用到参数学习率：learning_rate=0.1，用lr表示。

为什么要用学习率呢？这是Shrinkage的思想，如果每次都全部加上（学习率为1）很容易一步学到位导致过拟合。

重复此步骤，直到 m>5结束，最后生成5棵树。下面将展示每棵树最终的结构，这些图都是GitHub上的代码生成的，感兴趣的同学可以去一探究竟

Github：https://github.com/Freemanzxp/GBDT_Simple_Tutorial第一棵树：

第二棵树：

第三棵树：

第四棵树：

第五棵树：

4.得到最后的强学习器：

5.预测样本5：

在中，样本4的年龄为25，大于划分节点21岁，又小于30岁，所以被预测为0.2250。

在中，样本4的…此处省略…所以被预测为0.2025

==为什么是0.2025？这是根据第二颗树得到的，可以GitHub简单运行一下代码==

在中，样本4的…此处省略…所以被预测为0.1823

在中，样本4的…此处省略…所以被预测为0.1640

在中，样本4的…此处省略…所以被预测为0.1476

最终预测结果：