可用于嵌入式系统的傅立叶变换的C语言实现方法

傅立叶变换的重要性不用我说，想必大家也很清楚，有了傅立叶变换，我们就可以从信号的频域特征去分析信号。尤其在无线通信系统中，傅里叶变换的重要性就更加明显了，无论是设计者还是测试工程师，在工作中都会和傅立叶变换打交道。在以下的文章中，我给出一种傅里叶变换的C语言实现方法（参考了C常用算法集），可以用于在嵌入式系统中实现傅立叶变换。

常规的傅立叶变换算法并不适用于嵌入式控制系统，原因是运算量太大（涉及到复数运算），比如离散的傅立叶变换等同于用序列Y(n×1列矢量)乘以n×n 矩阵Fn，需要n×n次乘法。若n=1024,则是104，8576次乘法运算。哇，这么多呀！什么概念呢？如果你选用的CPU单周期指令为25ns, 单周期也可以完成一次乘法运算，那么要计算1024点的傅立叶变换则需要26.2144ms,这还不包括加法或其它运算，对于大多数实时系统，这个处理时间实在太长。于是寻找一个快速的傅立叶变换算法是人们所期望的。

本来我想把FFT的整个数学推导过程列完出来，但当自己硬着头皮看完后，发现对我没有任何用处，我又不是专门研究数学算法的，哪有那么多时间跟着书本的公式去慢慢推导。我想，这些推导问题还是让数学家想去吧。我需要的不过是理解它，然后学会应用它就行。有兴趣的读者可以参考相关的资料，这方面的资料实在太多了。

虽然FFT大幅度地降低了常规傅立叶变换的运算量，但对于一般的单片机而言，处理FFT运算还是力不从心。主要原因是FFT计算过程中的蝶形运算是复数运算，要分开实部和虚部分别计算，想想这是多么繁琐的事情。可能会有些初学者认为，有这么复杂吗？我在PC上使用C++一样可以对复数直接进行加、减、乘、除运算。你说得不错，可以这么做，但那是C++封装了对复数处理的类，直接调用就行。在PC上运算这种类型的算法一般不考虑时间和空间，多一两秒的运行时间不会有什么灾难性的结果。

所以我们要衡量一个处理器有没有足够的能力来运行FFT算法，根据以上的简单介绍可以得出以下两点：

处理器要在一个指令周期能完成乘和累加的工作，因为复数运算要多次查表相乘才能实现。

间接寻址，可以实现增/减1个变址量，方便各种查表方法。FFT要对原始序列进行反序排列，处理器要有反序间接寻址的能力。

所以，在数字信号的分析处理应用中，DSP比其它的处理器有绝对的优势，因为DSP完全具备以上条件。这就是单片机（51系列，AVR，PIC等等）或ARM处理器很少用来进行数字信号分析的原因。

重点来了，下面的这段程序就是用C语言实现傅里叶变换

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                        　　// 函数名: 快速傅立叶变换（来源《C常用算法集》）
                        　　// 本函数测试OK,可以在TC2.0,VC++6.0,Keil C51测试通过。
                        　　// 如果你的MCS51系统有足够的RAM时,可以验证一下用单片机处理FFT有多么的慢。
                        　　//
                        　　// 入口参数：
                        　　// l: l = 0, 傅立叶变换; l = 1, 逆傅立叶变换
                        　　// il: il = 0,不计算傅立叶变换或逆变换模和幅角；il = 1,计算模和幅角
                        　　// n: 输入的点数，为偶数，一般为32，64，128，…,1024等
                        　　// k: 满足n=2^k(k>0),实质上k是n个采样数据可以分解为偶次幂和奇次幂的次数
                        　　// pr[]: l=0时，存放N点采样数据的实部
                        　　// l=1时, 存放傅立叶变换的N个实部
                        　　// pi[]: l=0时，存放N点采样数据的虚部
                        　　// l=1时, 存放傅立叶变换的N个虚部
                        　　//
                        　　// 出口参数：
                        　　// fr[]: l=0, 返回傅立叶变换的实部
                        　　// l=1, 返回逆傅立叶变换的实部
                        　　// fi[]: l=0, 返回傅立叶变换的虚部
                        　　// l=1, 返回逆傅立叶变换的虚部
                        　　// pr[]: il = 1,i = 0 时，返回傅立叶变换的模
                        　　// il = 1,i = 1 时，返回逆傅立叶变换的模
                        　　// pi[]: il = 1,i = 0 时，返回傅立叶变换的辐角
                        　　// il = 1,i = 1 时，返回逆傅立叶变换的辐角
                        　　// data: 2005.8.15,Mend Xin Dong
                        　　void kkfft(double pr[], double pi[], int n, int k,
                        double fr[], double fi[], int l, int il)
                        　　{
                        　　 int it,m,is,i,j,nv,l0;
                        　　 double p,q,s,vr,vi,poddr,poddi;
                       
                        　　 for (it=0; it<=n-1; it++)
                        　　 {
                        　　 m = it;
                        　　 is = 0;
                        　　 for(i=0; i<=k-1; i++)
                        　　 {
                        　　 j = m/2;
                        　　 is = 2*is+(m-2*j);
                        　　 m = j;
                        　　 }
                        　　 fr[it] = pr[is];
                        　　 fi[it] = pi[is];
                        　　 }
                        　　//—————————-
                        　　 pr[0] = 1.0;
                        　　 pi[0] = 0.0;
                        　　 p = 6.283185306/(1.0*n);
                        　　 pr[1] = cos(p);
                        　　 pi[1] = -sin(p);
                       
                        　　 if (l!=0)
                        　　 pi[1]=-pi[1];
                       
                        　　 for (i=2; i<=n-1; i++)
                        　　 {
                        　　 p = pr[i-1]*pr[1];
                        　　 q = pi[i-1]*pi[1];
                        　　 s = (pr[i-1]+pi[i-1])*(pr[1]+pi[1]);
                        　　 pr[i] = p-q;
                        　　 pi[i] = s-p-q;
                        　　 }
                       
                        　　 for (it=0; it<=n-2; it=it+2)
                        　　 {
                        　　 vr = fr[it];
                        　　 vi = fi[it];
                        　　 fr[it] = vr+fr[it+1];
                        　　 fi[it] = vi+fi[it+1];
                        　　 fr[it+1] = vr-fr[it+1];
                        　　 fi[it+1] = vi-fi[it+1];
                        　　 }
                        　　 m = n/2;
                        　　 nv = 2;
                       
                        　　 for (l0=k-2; l0>=0; l0–)
                        　　 {
                        　　 m = m/2;
                        　　 nv = 2*nv;
                        　　 for(it=0; it<=(m-1)*nv; it=it+nv)
                        　　 for (j=0; j<=(nv/2)-1; j++)
                        　　 {
                        　　 p = pr[m*j]*fr[it+j+nv/2];
                        　　 q = pi[m*j]*fi[it+j+nv/2];
                        　　 s = pr[m*j]+pi[m*j];
                        　　 s = s*(fr[it+j+nv/2]+fi[it+j+nv/2]);
                        　　 poddr = p-q;
                        　　 poddi = s-p-q;
                        　　 fr[it+j+nv/2] = fr[it+j]-poddr;
                        　　 fi[it+j+nv/2] = fi[it+j]-poddi;
                        　　 fr[it+j] = fr[it+j]+poddr;
                        　　 fi[it+j] = fi[it+j]+poddi;
                        　　 }
                        　　 }
                       
                        　　 if(l!=0)
                        　　 for(i=0; i<=n-1; i++)
                        　　 {
                        　　 fr[i] = fr[i]/(1.0*n);
                        　　 fi[i] = fi[i]/(1.0*n);
                        　　 }
                       
                        　　 if(il!=0)
                        　　 for(i=0; i<=n-1; i++)
                        　　 {
                        　　 pr[i] = sqrt(fr[i]*fr[i]+fi[i]*fi[i]);
                        　　 if(fabs(fr[i])<0.000001*fabs(fi[i]))
                        　　 {
                        　　 if ((fi[i]*fr[i])>0)
                        　　 pi[i] = 90.0;
                        　　 else
                        　　 pi[i] = -90.0;
                        　　 }
                        　　 else
                        　　 pi[i] = atan(fi[i]/fr[i])*360.0/6.283185306;
                        　　 }
                        　　return;
                        　　}