以下是用中文整理的Z变换核心公式表，适用于信号处理、离散系统分析等领域：

1. Z变换定义

• 正变换：
  ( X(z) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} x[n] \, z^{-n} )
  （( z ) 为复变量，( x[n] ) 为离散序列）

• 逆变换：
  ( x[n] = \frac{1}{2\pi j} \oint_C X(z) \, z^{n-1} \, dz )
  （( C ) 为收敛域内的闭合围线）

2. 常用序列的Z变换

3. Z变换性质

4. 收敛域 (ROC) 关键规则

• 右边序列：ROC 为 ( |z| > a )（圆外区域）。
• 左边序列：ROC 为 ( |z| < b )（圆内区域）。
• 双边序列：ROC 为环形区域 ( a < |z| < b )。
• 有限长序列：ROC 为全平面（可能除去 ( z=0 ) 或 ( z=\infty )）。

注意：ROC 不包含极点，且系统稳定的充要条件是单位圆（( |z|=1 )）在ROC内。

5. 初值定理 & 终值定理

• 初值定理（因果序列）：
  ( x[0] = \lim_{z \to \infty} X(z) )

• 终值定理（需 ( (z-1)X(z) ) 极点全在单位圆内）：
  ( x[\infty] = \lim_{z \to 1} (z-1) X(z) )

6. 逆Z变换方法

1. 部分分式展开：
   将 ( X(z) ) 拆分为 ( \frac{A}{z-p_k} ) 形式，查表转换。
2. 幂级数展开法（长除法）：
   对 ( X(z) ) 直接展开为 ( z^{-n} ) 的级数，系数即 ( x[n] )。
3. 留数定理：
   ( x[n] = \sum \text{Res} \left[ X(z) z^{n-1} \right] )（极点位于 ( C ) 内）。

重要提示

• 因果系统：传递函数 ( H(z) ) 分母阶数 ≥ 分子阶数，且 ROC 包含 ( |z|=\infty )。
• 稳定性：所有极点必须在单位圆内（即 ( |z_{\text{pole}}| < 1 )）。

建议结合教材例题练习部分分式展开和收敛域分析！如需特定公式的推导或应用示例，可进一步说明。