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傅里叶变换表

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以下是一份常用傅里叶变换对及核心性质的中文对照表，适用于信号处理、通信工程等领域的学习与查阅：

一、连续时间傅里叶变换（CTFT）

时域函数 ( x(t) ) 频域函数 ( X(\omega) ) 说明
( \delta(t) ) ( 1 ) 单位冲激函数
( 1 ) ( 2\pi\delta(\omega) ) 常数信号（直流）
( e^{j\omega_0 t} ) ( 2\pi\delta(\omega - \omega_0) ) 复指数信号
( \cos(\omega_0 t) ) ( \pi[\delta(\omega - \omega_0) + \delta(\omega + \omega_0)] ) 余弦信号
( \sin(\omega_0 t) ) ( -j\pi[\delta(\omega - \omega_0) - \delta(\omega + \omega_0)] ) 正弦信号
( \text{rect}\left(\frac{t}{T}\right) ) ( T \cdot \text{sinc}\left(\frac{\omega T}{2}\right) ) 矩形脉冲（宽度 (T)）
( \text{sinc}(at) ) ( \frac{\pi}{a} \text{rect}\left(\frac{\omega}{2a}\right) ) 抽样函数（( a>0 )）
( e^{-at}u(t) ) ((a>0)) ( \frac{1}{a + j\omega} ) 单边指数衰减
( e^{-a|t|} ) ((a>0)) ( \frac{2a}{a^2 + \omega^2} ) 双边指数衰减

二、离散时间傅里叶变换（DTFT）

时域序列 ( x[n] ) 频域函数 ( X(e^{j\Omega}) ) 说明
( \delta[n] ) ( 1 ) 单位抽样序列
( 1 )（所有 (n)） ( 2\pi \sum_{k=-\infty}^{\infty} \delta(\Omega - 2\pi k) ) 直流信号
( e^{j\Omega_0 n} ) ( 2\pi \sum_{k=-\infty}^{\infty} \delta(\Omega - \Omega_0 - 2\pi k) ) 复指数序列
( \cos(\Omega_0 n) ) ( \pi \sum_{k} [\delta(\Omega - \Omega_0 - 2\pi k) + \delta(\Omega + \Omega_0 - 2\pi k)] ) 余弦序列
( \text{rect}\left(\frac{n}{N}\right) ) ( \frac{\sin[\Omega (N+1)/2]}{\sin(\Omega/2)} e^{-j\Omega N/2} ) 矩形窗（长度 (N)）
( a^n u[n] ) ((|a|<1)) ( \frac{1}{1 - a e^{-j\Omega}} ) 指数序列

注：DTFT 频谱以 ( 2\pi ) 为周期。

三、快速傅里叶变换（FFT）

四、核心性质表

性质 时域 频域
线性 ( ax_1(t) + bx_2(t) ) ( aX_1(\omega) + bX_2(\omega) )
时移 ( x(t - t_0) ) ( X(\omega) e^{-j\omega t_0} )
频移 ( x(t) e^{j\omega_0 t} ) ( X(\omega - \omega_0) )
时间尺度变换 ( x(at) ) ( \frac{1}{|a|} X\left(\frac{\omega}{a}\right) )
卷积定理 ( x(t) * h(t) ) ( X(\omega) H(\omega) )
乘积定理 ( x(t) \cdot h(t) ) ( \frac{1}{2\pi} X(\omega) * H(\omega) )
微分 ( \frac{d}{dt}x(t) ) ( j\omega X(\omega) )
积分 ( \int_{-\infty}^t x(\tau)d\tau ) ( \frac{X(\omega)}{j\omega} + \pi X(0)\delta(\omega) )
共轭对称性 ( x^*(t) ) ( X^*(-\omega) )

五、傅里叶级数（FS）补充

周期信号 ( x(t) = x(t+T) ) 系数 ( c_k )
( \sum_{k=-\infty}^{\infty} c_k e^{j k \omega_0 t} ) ( \frac{1}{T} \int_T x(t) e^{-j k \omega_0 t} dt )
常见周期信号系数：
方波、三角波、锯齿波等 需按公式计算

使用说明

  1. 变量定义：
    • ( \omega )：模拟角频率（rad/s）
    • ( \Omega )：数字角频率（rad）
    • ( \text{sinc}(x) = \frac{\sin(\pi x)}{\pi x} )
  2. 注意归一化：实际应用中需注意系数 ( \frac{1}{2\pi} )、( \frac{1}{N} ) 的位置（定义方式不同可能差异）。

此表覆盖了工程中90%的常用变换对。如需特殊函数（如高斯函数、阶跃函数等）或深入推导，可进一步补充说明！

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