功率谱密度计算公式

功率谱密度（Power Spectral Density, PSD）的计算公式根据信号类型（连续/离散）和定义方式有所不同。以下是常用公式的中文说明：

1. 连续信号的经典定义（Wiener-Khinchin 定理）

功率谱密度 ( S{xx}(f) ) 是自相关函数 ( R{xx}(\tau) ) 的傅里叶变换： [ \boxed{S{xx}(f) = \int{-\infty}^{\infty} R_{xx}(\tau) e^{-j 2\pi f \tau} d\tau} ] 其中：

( R{xx}(\tau) ) 是信号 ( x(t) ) 的自相关函数：( R{xx}(\tau) = \mathbb{E}\left[ x(t) x^*(t - \tau) \right] )。
( f ) 为频率（Hz），( \tau ) 为时间延迟。

2. 直接法（周期图法 Periodogram）

对有限长信号直接傅里叶变换的平方： [ \boxed{\hat{S}{xx}(f) = \frac{1}{T} \left| \int{0}^{T} x(t) e^{-j 2\pi f t} dt \right|^2} ] 其中：

( T ) 为信号持续时间（秒）。
此方法需对多个分段结果平均以减少方差（改进的Welch法）。

3. 离散信号（DFT版本）

对采样信号 ( x[n] ) 的常用估计公式（Welch法）： [ \boxed{\hat{S}_{xx}(k) = \frac{1}{N \cdot fs} \left| \sum{n=0}^{N-1} x[n] w[n] e^{-j 2\pi k n / N} \right|^2} ] 其中：

( N ) 为采样点数，
( f_s ) 为采样率（Hz），
( w[n] ) 是窗函数（如汉宁窗），
( k ) 对应频率 ( f_k = \frac{k \cdot f_s}{N} )。

注意：结果需除以 ( f_s ) 或 ( N ) 以实现频率密度的物理意义（单位：( \text{Hz}^{-1} )）。

关键点说明

物理意义
PSD 表示信号功率在频率域的分布密度，单位通常为 ( \text{V}^2/\text{Hz} )（电压信号）或 ( \text{g}^2/\text{Hz} )（振动加速度）。
归一化因子
- 连续公式隐含 ( \frac{1}{2\pi} )（角频率形式），离散公式需注意 ( \frac{1}{f_s} ) 或 ( \frac{1}{N} ) 的校准。
- 确保积分总面积等于信号总功率：( \int{-\infty}^{\infty} S{xx}(f) df = \mathbb{E}[|x(t)|^2] ).
实际应用
工程中多用 Welch 平均周期图法（MATLAB: pwelch）以减少估计方差。