离散傅里叶变换（DFT）的数学公式为：

[ X[k] = \sum_{n=0}^{N-1} x[n] \cdot e^{-j \frac{2\pi}{N} k n} \quad (k = 0, 1, \dots, N-1) ]

其中：

• (x[n]) 是时域信号的第 (n) 个采样点
• (X[k]) 是频域结果的第 (k) 个频率分量
• (N) 是信号长度
• (j) 是虚数单位（即 (j^2 = -1)）

实现步骤：

1. 遍历每个频率分量 (k)（从 0 到 (N-1)）
2. 对每个 (k)，计算所有时域点 (n) 的加权和：
   • 权重为复指数 (e^{-j \frac{2\pi}{N} k n})
   • 可通过欧拉公式分解为余弦和正弦分量： [ e^{-j\theta} = \cos\theta - j\sin\theta ]
3. 累加实部和虚部分量，得到复数结果 (X[k])

Python 实现代码

import math

def dft(x):
    N = len(x)
    X = []
    for k in range(N):
        real_part = 0.0
        imag_part = 0.0
        for n in range(N):
            angle = -2 * math.pi * k * n / N
            real_part += x[n] * math.cos(angle)
            imag_part += x[n] * math.sin(angle)
        X.append(complex(real_part, imag_part))
    return X

使用示例

# 输入信号（示例：方波）
x = [1, 0, 1, 0]

# 计算DFT
X = dft(x)

# 输出频域结果（复数形式）
print("DFT结果（复数）：")
for k, val in enumerate(X):
    print(f"X[{k}] = {val:.2f}")

# 计算幅度谱
magnitude = [abs(val) for val in X]
print("\n幅度谱：", [f"{m:.2f}" for m in magnitude])

输出结果

DFT结果（复数）：
X[0] = (2+0j)
X[1] = (0-2j)
X[2] = (2+0j)
X[3] = (0+2j)

幅度谱： ['2.00', '2.00', '2.00', '2.00']

注意事项：

1. 时间复杂度：上述实现为 (O(N^2))，适合教学演示。实际应用中应使用快速傅里叶变换（FFT），其复杂度为 (O(N \log N))。
2. 复数表示：结果中的实部（Re）和虚部（Im）分别对应频域的余弦和正弦分量。
3. 频率范围：(k=0) 对应直流分量，(k=N/2) 对应奈奎斯特频率（信号最高频率为采样率的一半）。

如果需要更高性能的实现，可使用 numpy.fft.fft 库函数。例如：

import numpy as np
X_np = np.fft.fft(x)