二进制数的运算方法与规则要求主要基于“逢二进一”的基本原则，主要分为以下几类：

一、算术运算 (类似于十进制)

1. 加法:

   • 规则：
     • 0 + 0 = 0
     • 0 + 1 = 1
     • 1 + 0 = 1
     • 1 + 1 = 0 (进位 1)
     • 1 + 1 + 1 = 1 **(进位 1)`
   • 方法： 从最低位（最右边）开始相加，逐位计算当前位的和以及产生的进位。进位需要加到下一位的运算中。
   • 要求： 需要正确处理进位。

2. 减法:

   • 规则：
     • 0 - 0 = 0
     • 1 - 0 = 1
     • 1 - 1 = 0
     • 0 - 1 = 1 **(需要借位 1)`
   • 方法： 从最低位（最右边）开始相减。当需要0 - 1时，必须向左边更高位借位。
     • 借位后，当前位得到 1 (相当于借来了 2(10)) ，然后用 10(2) - 1(2) = 1(2) (注意：这里的 10(2) 是二进制数，等于十进制的2)。
     • 被借位的那一位需要减去 1。
   • 要求： 需要正确处理借位。重要替代方法： 计算机内部常使用补码来表示负数，将减法转化为加法（A - B = A + (-B) = A + B的补码），简化电路设计并统一加减法操作。

3. 乘法:

   • 规则：
     • 0 * 0 = 0
     • 0 * 1 = 0
     • 1 * 0 = 0
     • 1 * 1 = 1
   • 方法：
     • 类似于十进制乘法。乘数（下面那个数）的每一位（0或1）依次去乘被乘数（上面那个数）。
     • 如果乘数的当前位是0，则中间积（Partial Product）为全0。
     • 如果乘数的当前位是1，则中间积就是被乘数本身（前面根据需要补0以对齐）。
     • 将所有的中间积（按位权对齐后）相加，得到最终的乘积。
   • 要求： 本质上是移位和加法的组合。

4. 除法:

   • 方法： 类似于十进制除法。
     • 比较被除数（或当前余数）和除数的大小（位数对齐）。
     • 如果够减（被除数 >= 除数），商上1，然后用当前被除数（或余数）减去除数。
     • 如果不够减（被除数 < 除数），商上0。
     • 将下一位被除数的位移下来，加到当前余数后面，形成新的“被除数”。
     • 重复以上步骤，直到除尽或达到所需精度。
   • 要求： 本质上是移位和减法的组合。计算机内部同样可以利用补码将除法中的减法转换为加法，但除法硬件实现相对复杂。

二、逻辑运算 (按位操作)

• 按位与 (AND) &：
  • 规则： 两位都为1时，结果才为1。
    • 0 & 0 = 0
    • 0 & 1 = 0
    • 1 & 0 = 0
    • 1 & 1 = 1
  • 应用： 位掩码、清零某些位、提取特定位。
• 按位或 (OR) |：
  • 规则： 只要有一位为1，结果就为1。
    • 0 | 0 = 0
    • 0 | 1 = 1
    • 1 | 0 = 1
    • 1 | 1 = 1
  • 应用： 设置某些位为1。
• 按位非 (NOT) ~：
  • 规则： 取反操作，0变1，1变0。
    • ~0 = 1
    • ~1 = 0
  • 应用： 对某一位或整个数取反。注意： 按位非操作依赖于数的位宽表示（补码表示下的非运算有其特定含义）。
• 按位异或 (XOR) ^：
  • 规则： 两位不相同时为1，相同时为0。
    • 0 ^ 0 = 0
    • 0 ^ 1 = 1
    • 1 ^ 0 = 1
    • 1 ^ 1 = 0
  • 应用： 翻转某些位、两个数交换值（无需临时变量）、简单的加密/校验（如奇偶校验生成）。
• 移位运算：
  • 逻辑左移 (<<)： 将所有位向左移动指定位数，右侧空出的低位填充0，最左侧的超高位移出丢弃。
    • 相当于乘以 2^n (n 是移动的位数)。
  • 逻辑右移 (>>>)： 将所有位向右移动指定位数，左侧空出的高位填充0，最右侧的超低位移出丢弃。
    • 相当于除以 2^n (n 是移动的位数，结果向下取整)。
  • 算术右移 (>>)： (主要用于有符号数)将所有位向右移动指定位数，左侧空出的高位填充符号位的值（如果原来是正数 - 符号位0，则填0；如果是负数 - 符号位1，则填1），最右侧的超低位移出丢弃。
    • 对于有符号数（补码表示），算术右移一位相当于除以 2 (向下取整)。
  • 要求： 指定移动位数。

三、特殊规则要求 (主要针对有符号数和计算机内部表示)

1. 位宽一致： 在进行算术运算（特别是加减乘）时，参与运算的数通常需要表示成相同的位数（位宽）。不足位的数需要在最高位前面补0（正数/无符号数）或补符号位（负数，即补1）。
2. 补码表示与运算： 这是处理有符号数和减法的关键。
   • 正数的补码就是其本身（前面补0）。
   • 负数的补码 = 该数的绝对值的原码【按位取反】+ 1。 通常符号位固定为1（表示负数）。
   • 规则： 采用补码后，减法 A - B 变成了 A + (-B) = A + B的补码。最高位产生的进位（如果超过位宽）会被丢弃（溢出标志会根据不同规则置位）。
   • 优点： 统一了加减法运算，简化了硬件电路。
3. 溢出判断： 在进行补码加减法时，如果两个正数相加结果为负数，或两个负数相加结果为正数，则发生了溢出（Overflow），计算结果无效（超出了该位宽补码所能表示的范围）。需要通过检查原始操作数符号位和结果符号位之间的关系来检测溢出。
4. 符号扩展： 将位数较少的有符号数扩展到更多位时，需要在新的高位部分填充原始最高位的值（即符号位），以保持其数值不变（正数填0，负数填1）。
5. 零扩展： 将位数较少的无符号数扩展到更多位时，只需要在原始数的高位填充0。

总结

二进制数的运算基础基于简单的0和1的真值表逻辑：

• 算术运算（加、减、乘、除） 遵循“逢二进一、借一当二”的基本原理，核心在于进位和借位的处理。补码是处理有符号数和减法运算的核心机制。
• 逻辑运算（与、或、非、异或） 是按位进行的，遵循各自的逻辑规则。
• 移位运算 可以实现高效的乘除运算和数据操作。
• 重要规则要求 包括：位宽一致性、补码转换、溢出判断、符号扩展、零扩展。遵守这些规则才能保证二进制数在计算机系统中运算的正确性。