丑数（Ugly Number）是指只包含质因数 2、3 和 5 的正整数。例如，1、2、3、4、5、6、8、9、10、12 等是丑数，而 7、14 等不是（因为包含其他质因数）。通常将 1 视为第一个丑数。

计算第 n 个丑数的方法

使用动态规划结合三指针法高效生成丑数序列：

1. 初始化：定义数组 dp 存储丑数，dp[0] = 1（第一个丑数）。三个指针 p2、p3、p5 均初始化为 0，分别表示下一个待乘以 2、3、5 的丑数位置。
2. 生成后续丑数：对于每个位置 i（从 1 到 n-1）：
   • 计算候选值：num2 = dp[p2] * 2，num3 = dp[p3] * 3，num5 = dp[p5] * 5。
   • 取最小值：dp[i] = min(num2, num3, num5)。
   • 更新指针：若 dp[i] 等于某个候选值，则对应指针加 1（若同时等于多个，则多个指针都加 1）。
3. 返回结果：dp[n-1] 即为第 n 个丑数。

示例（计算第 10 个丑数）

• 前 10 个丑数序列：[1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12]。
• 第 10 个丑数是 12。

代码实现（Python）

def nthUglyNumber(n: int) -> int:
    dp = [1] * n
    p2, p3, p5 = 0, 0, 0
    for i in range(1, n):
        num2 = dp[p2] * 2
        num3 = dp[p3] * 3
        num5 = dp[p5] * 5
        dp[i] = min(num2, num3, num5)
        if dp[i] == num2: p2 += 1
        if dp[i] == num3: p3 += 1
        if dp[i] == num5: p5 += 1
    return dp[-1]

# 测试
print(nthUglyNumber(10))  # 输出: 12

算法特点

• 时间复杂度：O(n)，只需遍历一次。
• 空间复杂度：O(n)，存储丑数序列。

此方法高效避免了逐个数字检查的冗余计算，直接按顺序生成丑数。