以下为线性代数核心知识点总结（中文版），涵盖基本概念、核心理论及应用：

一、基础概念

1. 向量 (Vector)
   • 定义：具有大小和方向的量，如 (\mathbf{v} = \begin{pmatrix} v_1 \ v_2 \ \vdots \ v_n \end{pmatrix})。
   • 运算：加法、数乘、点积（(\mathbf{u} \cdot \mathbf{v} = \sum u_i v_i)）、叉积（(\mathbb{R}^3)）。
2. 矩阵 (Matrix)
   • 定义：(m \times n) 数表，(A = [a_{ij}])。
   • 特殊矩阵：
     • 单位矩阵 (I)（对角元素为1）。
     • 对角矩阵（非对角元素为0）。
     • 对称矩阵（(A = A^T)）。
     • 正交矩阵（(A^T A = I)）。

二、矩阵运算

1. 基本运算
   • 加法/减法：同型矩阵对应元素相加减。
   • 数乘：标量乘以每个元素。
2. 矩阵乘法
   • 定义：(C = AB)，其中 (c_{ij} = \sumk a{ik} b_{kj})。
   • 性质：结合律 ((AB)C = A(BC))，分配律 (A(B+C) = AB + AC)，不满足交换律（(AB \neq BA)）。
3. 转置 (Transpose)
   • 定义：(A^T) 的第 (i) 行为 (A) 的第 (i) 列。
   • 性质：((AB)^T = B^T A^T)，((A^T)^T = A)。
4. 逆矩阵 (Inverse)
   • 定义：若 (AA^{-1} = I)，则 (A) 可逆。
   • 性质：((AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1})，((A^T)^{-1} = (A^{-1})^T)。
5. 行列式 (Determinant)
   • 定义：方阵 (A) 的标量值，记为 (\det(A)) 或 (|A|)。
   • 性质：
     • (\det(AB) = \det(A)\det(B))。
     • (\det(A^T) = \det(A))。
     • 行列式为0 ⇨ 矩阵不可逆。

三、线性方程组

1. 表示形式：(A\mathbf{x} = \mathbf{b})，其中 (A) 为系数矩阵，(\mathbf{x}) 为未知向量。
2. 解法：
   • 高斯消元法：通过行变换化阶梯形。
   • 行最简形 (RREF)：判断解的存在性：
     • 无解：增广矩阵出现 ([0 \cdots 0 | c])（(c \neq 0)）。
     • 唯一解：系数矩阵满秩（秩=未知量个数）。
     • 无穷解：秩 < 未知量个数。
3. 解的表示：
   • 特解 + 齐次解（(A\mathbf{x} = \mathbf{0}) 的通解）。

四、向量空间

1. 向量空间 (Vector Space)
   • 定义：对加法和数乘封闭的集合（如 (\mathbb{R}^n)）。
2. 子空间 (Subspace)
   • 条件：包含零向量，且对加法和数乘封闭。
3. 基 (Basis) 和维数 (Dimension)
   • 基：线性无关且生成整个空间的向量组（如 (\mathbb{R}^3) 的标准基 ({\mathbf{e}_1, \mathbf{e}_2, \mathbf{e}_3}))。
   • 维数：基的向量个数（(\dim(V))）。
4. 秩 (Rank)
   • 定义：矩阵列空间（或行空间）的维数。
   • 性质：(\text{rank}(A) = \text{rank}(A^T))，且 (\text{rank}(A) \leq \min(m,n))。

五、特征值与特征向量

1. 定义
   • 对 (n \times n) 矩阵 (A)，若 (A\mathbf{v} = \lambda \mathbf{v})（(\mathbf{v} \neq \mathbf{0})），则 (\lambda) 为特征值，(\mathbf{v}) 为特征向量。
2. 求解方法
   • 解特征方程：(\det(A - \lambda I) = 0)。
3. 对角化 (Diagonalization)
   • 条件：(A) 有 (n) 个线性无关的特征向量。
   • 形式：(A = PDP^{-1})，其中 (D) 为特征值对角矩阵。
4. 对称矩阵性质
   • 特征值为实数，特征向量正交，可正交对角化（(A = QDQ^T)）。

六、正交性与投影

1. 正交向量：(\mathbf{u} \cdot \mathbf{v} = 0)。
2. 正交投影
   • 向量 (\mathbf{b}) 到子空间 (W) 的投影：(\text{proj}_W \mathbf{b} = A(A^TA)^{-1}A^T \mathbf{b})（(A) 的列是 (W) 的基）。
3. 最小二乘法
   • 解超定方程组：(A^TA\mathbf{x} = A^T\mathbf{b})。

七、相似矩阵与二次型

1. 相似矩阵
   • 定义：若存在可逆 (P) 使得 (B = P^{-1}AP)，则 (A) 与 (B) 相似。
   • 性质：相同特征值。
2. 二次型 (Quadratic Form)
   • 定义：(Q(\mathbf{x}) = \mathbf{x}^TA\mathbf{x})（(A) 对称）。
3. 主轴定理
   • 通过正交变换 (\mathbf{x} = Q\mathbf{y}) 化二次型为标准形：(Q = \lambda_1 y_1^2 + \cdots + \lambda_n y_n^2)。

八、实用技巧与公式

• 行列式计算：
  • (2\times2)：(\det\begin{pmatrix} a & b \ c & d \end{pmatrix} = ad - bc)。
  • (3\times3)：沙路法（Sarrus）或余子式展开。
• 逆矩阵公式：
  • (2\times2)：(A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \begin{pmatrix} d & -b \ -c & a \end{pmatrix})。
• 快速求秩：阶梯形矩阵非零行数。

附：重要图示

• 行列式几何意义：线性变换后体积缩放比例。
• 特征向量方向：矩阵变换后方向不变的向量。
• 投影直观：向量在子空间上的“影子”。

学习建议：理解几何意义（如变换、投影），结合编程实践（NumPy/SciPy），并通过习题巩固概念应用（如解方程、对角化）。

此提纲覆盖线性代数核心框架，适合快速回顾或考前复习！