在Mathcad中推导LLC谐振转换器的增益，需基于基波近似法（FHA）建立等效模型。以下是关键步骤及公式推导：

1. 等效电路建模

LLC谐振腔由谐振电感 ( L_r )、谐振电容 ( C_r ) 和励磁电感 ( L_m ) 组成，等效电路如图：

• 输入电压 ( V{in} ) 为方波，经FHA等效为正弦电压源 ( V{in_FHA} = \frac{4}{\pi} V_{in} )。
• 负载电阻 ( R{load} ) 经变压器折算到初级侧为 ( R{ac} = \frac{8}{\pi^2} n^2 R_{load} )，其中 ( n ) 为匝比。

2. 谐振网络阻抗计算

• 谐振电感阻抗：( Z_{Lr} = j \omega L_r )
• 谐振电容阻抗：( Z_{Cr} = \frac{1}{j \omega C_r} )
• 励磁电感与负载并联阻抗：( Z_{Lm_R} = \frac{j \omega Lm R{ac}}{j \omega Lm + R{ac}} )

总串联阻抗： [ Z{total} = Z{Lr} + Z{Cr} + Z{Lm_R} ]

3. 增益公式推导

增益 ( M ) 为输出电压 ( Vo ) 与输入电压 ( V{in} ) 的比值： [ M = \frac{Vo}{V{in}} = \frac{Z{Lm_R}}{Z{total}} \cdot \frac{\pi}{4} \cdot \frac{1}{n} ] 将阻抗代入并整理，得到归一化形式： [ M(f_n) = \frac{1}{\sqrt{ \left( 1 + \frac{L_r}{L_m} \left(1 - \frac{1}{f_n^2}\right) \right)^2 + \left( Q \left(f_n - \frac{1}{f_n}\right) \right)^2 }} ] 其中：

• 归一化频率 ( f_n = \frac{f}{f_r} )，( f_r = \frac{1}{2\pi \sqrt{L_r C_r}} )
• 品质因数 ( Q = \frac{\sqrt{L_r / Cr}}{R{ac}} )

4. Mathcad实现步骤

1. 定义符号变量：

   L_r, L_m, C_r, R_ac, ω, f_n, Q := ...

2. 计算阻抗表达式：

   Z_Lr := j*ω*L_r
   Z_Cr := 1/(j*ω*C_r)
   Z_Lm_R := (j*ω*L_m * R_ac) / (j*ω*L_m + R_ac)
   Z_total := Z_Lr + Z_Cr + Z_Lm_R

3. 推导增益公式：

   M := (Z_Lm_R / Z_total) * (π/4) * (1/n)

4. 代入归一化频率和Q值，并简化表达式。

5. 增益曲线分析

• 谐振点：当 ( f_n = 1 ) 时，增益 ( M = \frac{L_m}{L_r + L_m} )，与负载无关。
• 容性/感性区：当 ( f_n < 1 )，增益上升；( f_n > 1 )，增益下降。
• 负载影响：Q值越大（轻载），增益曲线越陡峭；Q值越小（重载），增益范围越宽。

通过以上步骤，可在Mathcad中完成LLC增益的符号推导与数值验证。建议结合参数扫描（如 ( f_n ) 和 ( Q ) ）绘制三维增益曲面，直观观察设计约束。