如何进行高维旋转

作者：Eugene Wang  

如果我们想要对二维矢量进行旋转，我们需要知道旋转点和旋转角度。如果要进行三维旋转，我们需要指定旋转轴和旋转角度。那么，我们可以进行四维旋转吗？或者说，我们可以进行更复杂的旋转吗？事实上，我们可以将其简化为，有一个n维向量，然后将这个向量旋转到另一个n维向量，我们将用更系统的方式来表达旋转。

首先，我们先来看看旋转的一些性质。第一个性质是旋转是线性变换，这种线性意味着两个方程：  和  。如果你在二维平面画出这些向量，你就可以验证它们。

由于旋转的线性属性，我们可以把旋转写成矩阵的形式：n维向量的旋转等于旋转矩阵R乘以n维向量。剩下的目标就是找到旋转矩阵R，使得  。

接下来，我们要来讲旋转的第二个性质：如果我们只是单纯旋转，向量的长度和向量之间的角度应该保持不变。这一性质意味着，两个向量的点积在旋转前后保持不变。也就是说，如果原来是v·w，那么两个向量旋转后就变成了Rv·Rw，两个点积是相等的：  。

对于实数向量，我们也可以将点积写为第一个向量的转置乘以第二个向量：  。我们也可以将等式右边进行一下变换，就可以得到  。因为这对于所有的向量v和w都是成立的，所以中间的  就是单位矩阵  。

因此，归结起来第二个性质就是满足  的旋转矩阵，我们把满足该性质的所有矩阵的集合表示为  ，O代表正交，n代表矩阵R的阶。

然而，长度和角度保持不变不仅仅只有旋转能做得到，反射也能做到这一点。因此，与反射对应的矩阵也将是属于O(n)的。所以，我们需要旋转的第三个性质，即它不会改变顺序。我的意思是，假如原本从向量v到向量w是逆时针，那么经过反射后就变成了顺时针，而旋转却不会做出这样的改变。因此，根据线性代数的知识，我们知道旋转矩阵R的行列式应该为正的，所以  。

因此，如果一个矩阵已经属于O(n)，并且它的行列式为1，那么它就属于SO(n)：  。这里的S代表特殊的，对应于行列式为1的附加要求。

以上的讨论都是针对实向量，如果我们要旋转复数向量的话，我们只要稍微进行修改就行。首先，我们把旋转矩阵R替换成矩阵U，它们之间的区别是U是一个复矩阵。其次，从第二个性质我们得到了  ，现在我们要把它改成  ，其中  意味着我们除了转置之外还取复共轭。最后，我们还有：  和  。

这样一来，我们就将旋转推广到了更高的维度和复数。虽然这些旋转矩阵很难直接去求解，但幸运的是，这些矩阵的集合，无论是O(n)、SO(n)、U(n)还是SU(n)，都会形成称为李群的东西，这些都可以通过李理论去求解。

编辑：黄飞