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最初，功能分析是对功能的研究。它现在被认为是一个统一的主题，概括了许多线性代数和实/复分析，强调无限维空间。这本书从这些基本的准备工作中介绍了这个庞大的主题，并将抽象理论及其应用发展为三个部分：（i）度量空间，（ii）Banach和Hilbert空间，以及（iii）Banach代数。尤其是在千禧年之交的数字革命中，希尔伯特空间和最小二乘近似已经成为数学教育的必要和基本课题，不仅对数学家，而且对工程师、物理学家和统计学家也很有兴趣。在信号处理、数据分析、回归、量子力学等方面，Banach空间，特别是l1和l？方法，在应用中得到了广泛的应用，并在许多优化问题上补充甚至取代了经典的最小二乘法。
这本书的主要目的是为读者提供一本入门教材，从初等线性代数和实际分析开始，并充分发展理论，以了解各种应用，包括最小二乘近似等，都是单一框架的一部分。工作。一本教科书必须在严谨和理解之间取得平衡：不是因为省略了“困难”的证明而显得过于简单，而是因为对普通读者使用了过于严格的语言，并将定理视为通往其他定理的垫脚石而显得既不太先进。尽管这方面的书籍很多，但在本科生和研究生的课本之间，在学习困难上仍然存在着明显的差距。这本书的目的是在中间：它涵盖了许多材料，有许多不同难度的练习，但重点是让学生清楚地记住使用直观语言的理论。例如，实分析是从度量空间（包括实数空间的构造）的更广泛的图景中重新展开的，而不是通过更抽象的拓扑空间。
本书面向对数学分析及其应用感兴趣的本科生，或希望对基本数学概念和技术采用更严格方法的研究工程师/统计学家。它也可以作为现代数学中占有中心地位的学科的参考或自学，为进一步研究开辟了许多途径。基本要求主要是数学的导论主题：集合与逻辑符号、向量空间和实分析（微积分），除此之外，参加傅立叶级数、勒贝格积分和D复杂分析。本书对向量空间和可测量集进行了回顾，而其他两个提到的主题仅在需要的范围内发展。涉及函数分析的许多数学领域都有例子。对于读者来说，在适当的地方遇到这些其他的主题是很有帮助的，但这并不重要。其目的是从功能分析的角度进行连接和描述。借助于互联网上的现代搜索工具，任何有兴趣跟踪某个特定主题的人都可以轻松地进行搜索。各部分以线性方式相互衔接，三个部分组成三个一学期的课程，尽管第二部分的长度是其他部分的两倍。以下章节可以省略，但对后续主题没有太大影响：
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