结构函数的由来及推导过程

在前面的《T3Ster结构函数应用-双界面分离法测试RθJC(θJC)》文章中，我们介绍了结构函数的一些应用双界面分离法测试RJc，结构函数应用于产品内部缺陷分析，界面材料对比，老化分析等。有许多朋友问，结构函数怎么得来的？为什么能从结构函数上读取材料的热阻热容值？

在这里，我们用一篇文章介绍结构函数的由来及基本的推导过程，以及它的意义，具体的数学计算在这里就不进行论述了。

根据热力学定律,当任意两个物体之间存在温度差时,两者之间会发生热量传递,热量从高温物体传递到低温物体,这是一个自发过程。我们知道，热阻的定义是热量在热流传递路径上遇到的阻力，反映了材料或介质传热能力的大小，它由热流通道两端的温差除以产生温差的热功耗而计算得到，和电学上的欧姆定律计算电阻的方法非常相似。而实际上热阻也是通过类比电阻的概念而来的，两者的相似度非常高。电阻指阻碍电流传导的物理量，那相应地，热阻就是阻碍热流传导的物理量，同等条件下热阻越大，热量就越不容易传递。

图1

当半导体器件工作时,在PN结处产生热量，即为热源部分，温度升高，由于存在温度差,热量通过结与封装的接触传递到封装,然后通过介质——封装材料传递到封装外表面(器件外壳),最后将热量传递到散热冷板或周围环境中。

图2

T3Ster作为一款先进的半导体器件封装热特性测试仪器，能帮助用户在数分钟内获取各类封装的热特性数据。

图3

T3Ster瞬态热测试过程：

使用测试小电流取得被测半导体器件温度敏感参数TSP(mV/℃），得到正向电压随温度变化的关系；

使用大电流进行加热；

当达到热平衡状态时，切换成小电流测量P2。(切换时间小于1µs)；

当切换到测试电流后,被测半导体器件的正向电压被测量并记录下来，直到和环境温度To达到新的热平衡状态。被记录下来的正向电压数值通过被测半导体器件的温度系数(mV/℃)被转换成为相应的温度随时间变化的关系，即瞬态温度响应曲线；

图4

精确的半导体器件瞬态温度响应曲线是分析器件热阻的基础。    

阻容网络的物理模型

得到瞬态温度响应曲线后，需要通过一系列数学换算得到热阻结构函数。首先，我们需要构造一个导热的模型，为了便于理解，先用一个最简单的模型，假设一个小正立方体，在四周绝热的条件下将它和一个理想的热沉相接触。在其上表面施加一个单位的功率并均匀地分布在表面上，如下左图所示。这个简单的热模型就是一个一阶 RC 网络模型，如下右图所示。这可以看作一个简单的半导体封装器件的近似热模型。

图5

在这个模型里，我们看到一个RC（阻容）网络，在这个网络里，热源当作一个恒流源，而热阻与热容并联到环境，我们称之为一阶RC网络。

图6 一阶RC网络

在最简单的封装热模型中，含有一个热阻和一个热容。这两个因素是并联连接，如上图所示。假如给这个模型施加ΔPH的功率，温度将以指数形式上升。

τ为模型的时间常数。

这个模型由时间常数τ及 Rth 值来描述其大小，如图7 所示。

图7

而实际上器件的物理结构通常是复杂的，并且具有多个时间常数。

现在我们把模型数量从1个升级到n个，那么就会变成n阶RC网络，如图8所示。

图8

模型中的物理量与电路原理中物理量的对应关系为：热阻对应于电阻，热容对应于电容，功率对应于电流，温升对应于电压，冷板或恒温平台对应于接地。

一般我们把这种结构的RC网络称为n阶福斯特（Foster）结构，其对应的热时间常数谱如图9所示。

图9n阶Foster结构

我们还需要将FOSTER 网络模型转换成CAUER 模型，这是由于FOSTER 网络模型包含节点至节点的热容，它没有物理意义，与实际的物理结构不相符。RC 单端口网络存在一个等效的模型——CAUER 网络CAUER 模型是一个梯形网络，如图10所示，这一模型的网络单元能与物理区域很好地对应起来。CAUER 模型是结构函数分析热流路径的基础。

图10

FOSTER模型和 CAUER 模型的 RC端口是等效的。两者都是以极少的组件描述给定电路行为的最简网络，这两个模型可以相互转换。

实际上，不同材料之间的交接界面也是同样存在热阻与热容的，器件的各种材料之间不能看成单一的热阻热容，我们应该认为热阻与热容的变化是连续的，于是我们需要把这个离散的多项式进行连续化处理，也就是当n趋向于正无穷

图11 连续的热时间常数谱

时间常数谱 R(z)确定后很容易画出“热流图”(描述沿热流路径分布的热阻与热容的函数)。

这个时间常数谱可认为是分布式热阻网络FOSTER RC模型的扩展，图12所示为集总元件的 FOSTER 模型结构。为了建立集总元件模型，将 Rz[11] )分成若干个长度为Az的片段。每个A 片段对应于一个并联的 RC(RCu)电路，

图12 热时间常数谱与n阶foster网络对应关系

将foster网络转换成Cauer网络，热阻与热容按网络阶数叠加，以热阻为横坐标，热容为纵坐标，就可得到热阻的积分结构函数曲线，根据Cauer网络模型，可以清楚地读出每一层封装材料的热阻和热容值。

图13

图14

对积分结构函数曲线取热容对热阻的微分，得到微分结构函数曲线。微分结构函数中的每一个波峰都是一个分界点，更容易读取。

图15 积分结构函数→微分结构函数

积分结构函数描述的是封装器件热流路径上各区域的热阻与热容参数，利用微分结构函数易于分辨出热流路径上不种材料的界面位置。

图16 

图17 结构函数的推导过程

图18

T3Ster独有的Structure Function(结构函数)分析法，能够分析器件热传导路径上每层结构的热学性能(热阻和热容参数)，构建器件等效热学模型，是器件封装工艺、可靠性试验、材料热特性以及接触热阻的强大支持工具，因此被誉为热测试中的“X射线” 。

图19

图20

T3Ster不仅以精确稳定的瞬态热测试数据为热设计提供热特性参数，还能通过与T3Ster相适应的热仿真软件FloTHERM的软硬件之间联合校准（calibration），搭建出热测试与热仿真研发平台，完善热设计相关的参考数据，提供精确的热模型与热参数，热测试与热仿真的结合，帮助用户获得更加精确的热设计参数，也提高了设计的速度和可靠性。    

公司实验室介绍

贝思科尔半导体热可靠性实验室成立于2019年10月，实验室位于深圳市南山区。实验室配备了行业领先的瞬态热阻测试仪T3ster（2套），界面材料热导率测试仪DynTIM（1套）测量设备以及搭配了若干测试载板/夹治具，水冷板/HPD水道等散热装置；另外也拥有专业的电子电路研发设计及仿真工具：PADS/Xpedition/Flotherm/FloEFD /Star-CCM+等软件。

  实验室目前具备量测LED/OLED芯片、功率MOSFET、二极管、三极管、集成电路IC及IGBT等单管和模块的热特性参数的能力，包含Si/SiC/GaN器件及模块的结温、热阻、热导率、功率循环（PCsec & PCmin）等参数测试能力，具备AECQ101和AQG324的功率循环可靠性评估、失效分析、寿命预估等能力。          

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　审核编辑：汤梓红