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石英晶体板高频振动的并行有限元分析
刘洋
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由于较小的体积和较好的温度稳定性，AT切石英晶体谐振器被广泛地应用于频率控制领域。近些年来，高新技术的发展对石英晶体谐振器的性能提出了更高的要求，比如更小的体积和更高的频率等。随着石英谐振器向小型化和高频化发展，产品开发技术给石英晶体板振动的精确分析带来了极大的挑战。通常我们可以借助基于三维压电弹性理论和Mindlin高阶板理论的有限元法对石英谐振器进行分析。但此类分析对计算机性能及计算方法提出了较高的要求，也就需要寻求先进的计算方法及高效的并行计算技术。
本文首先详细的介绍了Mindlin高阶板理论及其有限元实现，利用稀疏矩阵存储技术重写了数据的存储部分。接着，应用隐式重启动Arnoldi方法，并在ARPACK特征值求解包的基础上，采用Fortran语言，开发了新的有限元特征值计算程序。随后，通过消息传递MPI并行编程环境，开发了针对机群的特征值并行计算程序，并将其与有限元程序相结合，开发了并行有限元程序。作为算例，对矩形石英晶片和圆形石英晶片进行了高频振动分析，计算结果与著名的Koga实验结果符合的较好，从而验证了本文方法的有效性和程序的正确性。与此同时，对并行程序的求解时间做了比较，验证了并行有限元程序的并行计算效率。
本文的结果表明，将稀疏矩阵处理技术和最新的特征值求解方法与并行计算技术相结合，可以有效的提高有限元程序的运行效率。我们完成的有限元分析程序为满足实际石英晶体谐振器的精确设计打下了良好基础。
关键词：石英晶体，板，频率，有限元，特征值，并行计算
1 绪论.1
1.1 研究背景.1
1.2 石英晶体谐振器有限元分析的研究现状.2
1.3 矩阵特征值问题算法的概述.3
1.4 并行计算的意义.4
1.5 本文的主要工作.5
2 Mindlin板理论.6
2.1 三维运动方程..6
2.2 Mindlin的二维方程组..7
2.3 对应于AT切石英晶体的三阶板方程..9
2.4 本章小结..12
3 有限元方法的实现13
3.1 有限元基本方程..13
3.1.1 变分方程.13
3.1.2 Mindlin板方程的有限元格式.14
3.2 总刚矩阵的特点及其存储方式.19
3.2.1 总刚矩阵的特点19
3.2.2 总刚矩阵的一维变带宽存储及寻址方法.19
3.3 有限元程序框图..21
3.4 本章小结..24
4 有限元特征值并行算法25
4.1 隐式重启动Arnoldi方法.25
4.2 隐式重启动Arnoldi方法的并行算法.26
4.3 矩阵向量乘积并行算法..28
4.4 基于MPI的并行有限元程序29
4.4.1 消息传递MPI并行编程环境.29
4.4.2 并行有限元程序框图.30
4.5 本章小结..32
5 数值算例.33
5.1 正确性检验.33
5.2 并行效率测试与评价38
5.3 本章小结..42
6 总结与展望43
6.1 全文总结..43
6.2 展望..44
参考文献.45
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