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使用MATLAB实现有限域的基础知识介绍
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2020-11-24
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1.1 有限域（ Galois 域）的构造
令p 为一个素数。 则对任意的一个正整数n，存在一个特征为p，元素个数为pn 的有限域GF（pn）。
注： 任意一个有限域，其元素的个数一定为pn，其中p 为一个素数（有限域的特征）， n 为一个正整数。
例1（有限域GF（p）） 令p 为一个素数，集合GF（p）=Zp={0，1，2， ⋯p-，1}。在GF（p） 上定义加法⊕ 和乘法⊙ 分别为模p 加法和模p 乘法，即任意的a，b∈GF（p），a⊕b=（a+b）modp， a⊙b=（a？b）modp则《GF（p），⊕，⊙》 为一个有p 个元素的有限域，其中零元素为0，单位元为1.令a 为GF（p） 中的一个非零元素。 由于gcd（a，p）=1，因此，存在整数b，c，使得ab+pc=1. 由此得到a 的逆元为a- 1=bmodp.域GF（p） 称为一个素域（prime field）。
例注1： 给定a 和p，例1 中的等式ab+pc=1 可以通过扩展的欧几里得除法得到，从而求得GF（p） 中任意非零元素的逆元。
例2（有限域GF（pn）） 从GF（p） 出发，对任意正整数n，n≥2，我们可以构造元素元素个数为pn 的有限域GF（pn） 如下：
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