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通俗讲解：傅立叶分析和小波分析之间的关系资料下载
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2021-04-15
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从傅里叶变换到小波变换，并不是一个完全抽象的东西，完全可以讲得很形象。小波变换有着明确的物理意义，如果我们从它的提出时所面对的问题看起，可以整理出非常清晰的思路。
下面我就按照傅里叶-->短时傅里叶变换-->小波变换的顺序，讲一下为什么会出现小波这个东西、小波究竟是怎样的思路。（反正题主要求的是通俗形象，没说简短，希望不会太长不看。。）
一、傅里叶变换
关于傅里叶变换的基本概念在此我就不再赘述了，默认大家现在正处在理解了傅里叶但还没理解小波的道路上。（在第三节小波变换的地方我会再形象地讲一下傅里叶变换）
下面我们主要将傅里叶变换的不足。即我们知道傅里叶变化可以分析信号的频谱，那么为什么还要提出小波变换？答案就是“对非平稳过程，傅里叶变换有局限性”。看如下一个简单的信号：
做完FFT（快速傅里叶变换）后，可以在频谱上看到清晰的四条线，信号包含四个频率成分。
一切没有问题。但是，如果是非平稳信号呢？
如上图，最上边的是频率始终不变的平稳信号。而下边两个则是频率随着时间改变的非平稳信号，它们同样包含和最上信号相同频率的四个成分。
做FFT后，我们发现这三个时域上有巨大差异的信号，频谱却非常一致。尤其是下边两个非平稳信号，我们从频域上无法区分它们，因为它们包含的四个频率的信号的成分确实是一样的，只是出现的先后顺序不同。
可见，傅里叶变换处理非平稳信号有天生缺陷。它只能获取一段信号总体上包含哪些频率的成分，但是对各成分出现的时刻并无所知。因此时域相差很大的两个信号，可能频谱图一样。
然而平稳信号大多是人为制造出来的，自然界的大量信号几乎都是非平稳的，所以在比如生物医学信号分析等领域的papers中，基本看不到单纯傅里叶变换这样naive的方法。
上图所示的是一个正常人的事件相关电位。对于这样的非平稳信号，只知道包含哪些频率成分是不够的，我们还想知道各个成分出现的时间。知道信号频率随时间变化的情况，各个时刻的瞬时频率及其幅值——这也就是时频分析。
二、短时傅里叶变换（Short-time Fourier Transform, STFT）
一个简单可行的方法就是——加窗。我又要套用方沁园同学的描述了，“把整个时域过程分解成无数个等长的小过程，每个小过程近似平稳，再傅里叶变换，就知道在哪个时间点上出现了什么频率了。”这就是短时傅里叶变换。
看图：
时域上分成一段一段做FFT，不就知道频率成分随着时间的变化情况了吗！
用这样的方法，可以得到一个信号的时频图了：
——此图像来源于“THE WAVELET TUTORIAL”
图上既能看到300Hz, 200 Hz, 100 Hz, 50 Hz四个频域成分，还能看到出现的时间。两排峰是对称的，所以大家只用看一排就行了。
是不是棒棒的？时频分析结果到手。但是STFT依然有缺陷。
使用STFT存在一个问题，我们应该用多宽的窗函数？
窗太宽太窄都有问题：
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