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一种求解非线性约束优化全局最优的新方法
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2009-08-11
ejlwj
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本文提出了一种求解非线性约束优化的全局最优的新方法—它是基于利用非线性互
补函数和不断增加新的约束来重复解库恩-塔克条件的非线性方程组的新方法。因为库恩-塔克条件是非线性约束优化的必要条件，得到的解未必是非线性约束优化的全局最优解，为此，本文首次给出了通过利用该优化问题的先验知识，不断地增加约束来限制全局最优解范围的方法，一些仿真例子表明提出的方法和理论有效的，并且可行的。
随着当今世界的过度开发和利用资源，使其变得越来越贫乏，如何有效利用现有的资源成为世界最关注的热点之一。而有效利用资源的问题实际上是优化问题。实际的优化问题几乎都是有约束的，对于约束优化问题，不外乎有三种方法：一种是构造一个制约函数把约束优化问题变成为无约束优化问题，包括如何构造制约函数和如何求得其最优解这两方面研究内容，有许多学者都关注这方面内容，并取得了许多比较好结果[1] -[5],如文献Penalty function method 并通过优化算法如GA 得到全局或局部收敛于某个满足库恩-塔克条件的点，实际上，从结果看，这只不过是另一种解库恩-塔克条件方程组的方法；第二种是利用约束条件和目标函数，构造新的可行解探索条件来求解，但最终也是满足库恩-塔克条件方程组的点，如文献QP method[6，7]；无论第一种的能量函数法，还是第二种的可行域探索法，最终都是求满足库恩-塔克条件方程组的点，即最后一种方法，它是直接使用库恩-塔克条件和非线性互补函数[11-13]把约束优化问题变为求解非线性方程组问题，并利用已有的解非线性方程组方法如具有大范围收敛的延拓算法（Embedding method），来求解[8-16]。但因为库恩-塔克条件是非线性约束优化的必要条件，其解未必是非线性约束优化的最优解，这样就存在一个问题：一方面，对于非凸的约束优化问题，全局最优解是非常重要；另一方面通过解方程组却只能得到一组解，并且通常不是全局最优解。当然也可以通过不断选不同的初值来求解全局最优解，但所用的时间很大。另外还有一种方法是构造新的目标函数，使非凸的优化问题变成凸的优化问题，但这往往很困难，为此，本文试图从另外的途径来解决此，即通过不断地增加先验信息来限制全局最优解范围并得到全局最优解，但这种限制是以一维来划分的，即把多维约束范围投影到具有同维的某函数上，并按其值大小来划分不同区域，如按照目标函数值大小来增加新的约束，从而得到新的库恩-塔克条件和相应的非线性程组，这对于大规模优化问题，几乎并没有增加计算量，故它所需的时间主要取决于某函数的
一维来划分个数和采取解非线性方程组的算法，如果知道该函数大致的值域范围的话，则可以很大程度地减少解非线性方程组的次数，另外，现在有些解非线性方程组方法的速度已经可以满足某些实际需求，随着解非线性方程组的理论和技术发展，算法的速度也会越来越快，这样该方法不但可以得到约束优化的全局最优解，而且其所需的时间也可以非常少的。
补函数和不断增加新的约束来重复解库恩-塔克条件的非线性方程组的新方法。因为库恩-塔克条件是非线性约束优化的必要条件，得到的解未必是非线性约束优化的全局最优解，为此，本文首次给出了通过利用该优化问题的先验知识，不断地增加约束来限制全局最优解范围的方法，一些仿真例子表明提出的方法和理论有效的，并且可行的。
随着当今世界的过度开发和利用资源，使其变得越来越贫乏，如何有效利用现有的资源成为世界最关注的热点之一。而有效利用资源的问题实际上是优化问题。实际的优化问题几乎都是有约束的，对于约束优化问题，不外乎有三种方法：一种是构造一个制约函数把约束优化问题变成为无约束优化问题，包括如何构造制约函数和如何求得其最优解这两方面研究内容，有许多学者都关注这方面内容，并取得了许多比较好结果[1] -[5],如文献Penalty function method 并通过优化算法如GA 得到全局或局部收敛于某个满足库恩-塔克条件的点，实际上，从结果看，这只不过是另一种解库恩-塔克条件方程组的方法；第二种是利用约束条件和目标函数，构造新的可行解探索条件来求解，但最终也是满足库恩-塔克条件方程组的点，如文献QP method[6，7]；无论第一种的能量函数法，还是第二种的可行域探索法，最终都是求满足库恩-塔克条件方程组的点，即最后一种方法，它是直接使用库恩-塔克条件和非线性互补函数[11-13]把约束优化问题变为求解非线性方程组问题，并利用已有的解非线性方程组方法如具有大范围收敛的延拓算法（Embedding method），来求解[8-16]。但因为库恩-塔克条件是非线性约束优化的必要条件，其解未必是非线性约束优化的最优解，这样就存在一个问题：一方面，对于非凸的约束优化问题，全局最优解是非常重要；另一方面通过解方程组却只能得到一组解，并且通常不是全局最优解。当然也可以通过不断选不同的初值来求解全局最优解，但所用的时间很大。另外还有一种方法是构造新的目标函数，使非凸的优化问题变成凸的优化问题，但这往往很困难，为此，本文试图从另外的途径来解决此，即通过不断地增加先验信息来限制全局最优解范围并得到全局最优解，但这种限制是以一维来划分的，即把多维约束范围投影到具有同维的某函数上，并按其值大小来划分不同区域，如按照目标函数值大小来增加新的约束，从而得到新的库恩-塔克条件和相应的非线性程组，这对于大规模优化问题，几乎并没有增加计算量，故它所需的时间主要取决于某函数的
一维来划分个数和采取解非线性方程组的算法，如果知道该函数大致的值域范围的话，则可以很大程度地减少解非线性方程组的次数，另外，现在有些解非线性方程组方法的速度已经可以满足某些实际需求，随着解非线性方程组的理论和技术发展，算法的速度也会越来越快，这样该方法不但可以得到约束优化的全局最优解，而且其所需的时间也可以非常少的。
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