捷联惯导算法与组合导航原理的详细介绍

　　近年来，惯性技术不论在军事上、工业上，还是在民用上，特别是消费电子产品领域，都获得了广泛的应用，大到潜艇、舰船、高铁、客机、导弹和人造卫星，小到医疗器械、电动独轮车、小型四旋翼无人机、空中鼠标和手机，都有惯性技术存在甚至大显身手的身影。相应地，惯性技术的研究和开发也获得前所未有的蓬勃发展，越来越多的高校学生、爱好者和工程技术人员加入到惯性技术的研发队伍中来。

　　惯性技术涉及面广，涵盖元器件技术、测试设备和测试方法、系统集成技术和应用开发技术等方面，囿于篇幅和作者知识面限制，本书主要讨论捷联惯导系统算法方面的有关问题，包括姿态算法基本理论、捷联惯导更新算法与误差分析、组合导航卡尔曼滤波原理、捷联惯导系统的初始对准技术、组合导航系统建模以及算法仿真等内容。希望读者参阅之后能够对捷联惯导算法有个系统而深入的理解，并能快速而有效地将基本算法应用于解决实际问题。

　　在捷联惯导系统（SINS）中惯性测量器件（陀螺和加速度计）直接与运载体固联，通过导航计算机采集惯性器件的输出信息并进行数值积分求解运载体的姿态、速度和位置等导航参数，这三组参数的求解过程即所谓的姿态更新算法、速度更新算法和位置更新算法。特别在恶劣的高动态环境下，高精度的SINS对惯性器件性能和导航算法精度的要求都非常苛刻，由于高精度惯性器件往往价格昂贵并且进一步提升精度异常困难，所以在影响SINS精度的所有误差源中要求因导航算法引起的误差比重必须很小，一般认为应小于5%。姿态更新算法是SINS算法的核心，对整个系统的解算精度影响最为突出，具有重要的研究和应用价值。传统的姿态更新算法有欧拉角法、方向余弦阵法和四元数法等方法，这些方法直接以陀螺采样输出作为输入，使用泰勒级数展开或龙格—库塔等方法求解姿态微分方程，未充分考虑转动的不可交换性误差问题。传统姿态更新算法在理论上可以通过提高采样和更新频率来提高解算精度，但实际陀螺采样频率又受限于传感器的带宽和噪声水平，因此传统算法的精度提升空间相对有限，仅适用于对解算精度要求不太高的场合。

　　早在1775年，欧拉就提出了等效旋转矢量的概念，指出刚体的定点转动（即绕固定点的任何有限角位移）均可用绕经过该固定点的某轴的一次转动来实现，建立了刚体上单位矢量在转动前后的变换公式。1840年，罗德里格使用后人称之为罗德里格参数的表示方法，推导了相继两次转动的合成公式，它与W. R. Hamilton在1843年发明的四元数乘法表示是一致的。研究表明，相继多次的定点转动问题可用一系列的姿态变化量（变化四元数或变化矩阵）相乘来描述，每个姿态变化量与对应转动的等效旋转矢量之间存在转换公式，使用等效旋转矢量计算姿态变化量不存在任何原理上的误差。因此，现代的SINS姿态更新算法研究的关键就在于如何使用陀螺输出构造等效旋转矢量，以尽量减小和避免不可交换性误差，后续再使用等效旋转矢量计算姿态变化量和进行姿态更新将变得非常简单，而不像传统方法那样，直接使用陀螺输出进行姿态更新容易引起不可交换性误差。

　　1949年，J. H. Laning在研究火控系统的过程中详细地分析了空间转动合成的性质，推导了由等效旋转矢量确定转动角速度的公式，但是由于缺少更好的应用背景驱动（比如后来SINS发展的迫切需求），未能获得广泛的研究重视。20世纪50年代是机械陀螺仪飞速发展的一个重要时期，也正是在那时发现了著名的圆锥运动现象，即当陀螺仪在其旋转轴和输出轴出现同频不同相的角振动时，尽管其输入轴净指向不变（在整体上没有随时间改变的趋势项），但陀螺仪还是会敏感到并输出常值角速率。1958年，为揭示圆锥运动现象产生的根源，L. E. Goodman建立了刚体转动的等效旋转矢量与角速度之间的关系式，后人称之为Goodman-Robinson定理，该定理从几何上将转动不可交换性误差的坐标分量描述为单位球面上的一块有向面积，其面积由对应动坐标轴在单位球面上扫过的曲线与连接该曲线端点的大圆围成，Goodman借助二维Green积分理论获得了不可

　　交换性误差的近似公式。1969年，基于Goodman近似公式，J. W. Jordan在假设陀螺角增量输出为二次多项式条件下提出了等效旋转矢量的“pre-processor”算法，它与后来发展的等效旋转矢量二子样算法完全一致。1969年，J. E. Bortz在其博士论文中详细推导了等效旋转矢量微分方程（1971年正式发表，后人称之为Bortz方程），它是利用陀螺输出求解等效旋转矢量的基本公式，奠定了等效旋转矢量多子样算法的理论基础。在实际应用时一般需对较复杂的Bortz方程做近似处理，事实上，其简化结果与Goodman公式完全一致，它也可以根据Laning公式简化获得。

　　1983年，R. B. Miller采用在圆锥运动条件下使算法漂移误差最小作为评价标准，推导了等效旋转矢量三子样优化算法。1990年，J. E. Lee研究了四子样优化算法。1992年，Y. F. Jiang研究了利用本更新周期内的三子样及前更新周期内的角增量计算旋转矢量的优化算法。1996年，M. B. Ignagni提出了由陀螺角增量构造等效旋转矢量的通式，并给出了多达10种类型的等效旋转矢量算法。1999年，C. G. Park总结提出了各子样下求解圆锥误差补偿系数和算法漂移误差估计的通用公式。至此，从理论上看，在理想的圆锥运动条件下的不可交换性误差补偿问题得到了比较完美的解决。

　　捷联惯导的基本概念在20世纪50年代就已经提出了，但是由于当时计算机的运算能力极其有限，在算法发展的早期阶段姿态更新通常采用双速回路算法方案：高速回路（e.g.，400Hz-10kHz）使用简单的一阶算法补偿由角振动引起的姿态不可交换性误差；中速回路（e.g.，50Hz-200Hz）以高速回路的处理结果作为输入再使用相对复杂的高阶算法进行姿态矩阵或四元数更新。双速回路算法的结构设计和实现过程都稍显繁琐，它只是在计算机运算能力低下时期所采取的权宜之策，随着通用计算机技术的飞速发展，尤其是80年代中后期之后，导航计算机的运算能力就不再是导航算法研究中需要着重关注的问题。双速回路算法的结构研究已经成为历史，目前的计算机完全能够满足高速高精度姿态更新解算的要求。

　　Kalman滤波与组合导航原理简介

　　如果信号受噪声干扰，为了从量测中恢复出有用信号而又要尽量减少干扰的影响，常常采用滤波器进行信号处理。使用经典滤波器时假定信号和干扰的频率分布不同，通过设计特定的滤波器带通和带止频段，实现有用信号和干扰的分离。但是，如果干扰的频段很宽，比如白噪声，在有用信号的频段范围内也必然会存在干扰，这时经典滤波器对滤除这部分干扰噪声无能为力。若有用信号和干扰噪声的频带相互重叠，信号处理时通常不再认为有用信号是确定性的，而是带有一定随机性的。对于随机信号不可能进行准确无误差的恢复，只能根据信号和噪声的统计特性，利用数理统计方法进行估计，并且一般采取某种统计准则使估计误差尽可能小。借用经典滤波器的术语，这种针对随机信号的统计估计方法也常常称为滤波器，或称为现代滤波器以区别于经典滤波器，但须注意经典滤波器和现代滤波器之间是有本质区别的。