java 二叉树实现

　　树的概述

　　树是一种非常常用的数据结构，树与前面介绍的线性表，栈，队列等线性结构不同，树是一种非线性结构

　　1.树的定义和基本术语

　　计算机世界里的树，是从自然界中实际的树抽象而来的，它指的是N个有父子关系的节点的有限集合。对于这个有限的节点集合而言，它满足如下条件：

　　当N=0时，改节点集合为空，这课树也被称为空树

　　在任意的非空树中，有且仅有一个根（root）节点

　　当N》1时，除根节点以外的其余节点可分为M个互为相交的有限集合T1，T2，…，Tm，其中的每个集合本身又是一棵树，并称其为根的子树（subtree）。

　　从上面定义可以发现树的递归特性：一棵树由根和若干棵子树组成，而每棵子树又由若干棵更小的子树组成。

　　树中任一节点可以有0或多个子节点，但只能有一个父节点。根节点是一个特例，根节点没有父节点，叶子节点没有子节点。树中每个节点既可以是其上一级节点的子节点，也可以是下一级节点的父节点，因此同一个节点既可以是父节点，也可以是子节点（类似于一个人—————他既是他儿子的父亲，又是他父亲的儿子）。

　　很显然，父子关系是一种非线性关系，所以树结构是非线性结构。

　　如果按节点是否包含子节点来分，节点可以分成以下两种：

　　普通节点：包含子节点的节点

　　叶子节点：没有子节点的节点，因此叶子节点不可作为父节点

　　如果按节点是否具有唯一的父节点来分，节点有可分为如下两种：

　　根节点：没有父节点的节点，根节点不可作为子节点

　　普通节点：具有唯一父节点的节点

　　一棵树只能有一个根节点，如果一棵树有了多个根节点，那么它已经不再是一棵树了，而是多棵树的集合，有时也被称为森林。示意图如下：

　　tree.PNG

　　tree.PNG

　　与树有关的术语有如下一些：

　　节点：树的最基本组成单元，通常包括一个数据元素及若干指针用于指向其他节点。

　　节点的度：节点拥有的子树的个数被称为节点的度（degree）

　　树的度：树中所有节点的度的最大值就是该树的度

　　叶子节点：度为0的节点被称为叶子节点或终端节点

　　分支节点：度不为0的节点被称为分支节点或非终端节点

　　子节点，父节点，兄弟节点：节点的子树的根被称为该节点的子节点，而该节点称为子节点的父节点（parent）。具有相同父节点的子节点之间互称为兄弟节点。

　　节点的层次（level）：节点的层次从根开始算起，根的层次值为1，其余节点的层次值为父节点层次值加l。

　　树的深度（depth）：树中节点的最大层次值称为树的深度或高度。

　　有序树与无序树：如果将树中节点的各棵子树看成从左到右是有序的（即不能互换），则称该树为有序树，否则称为无序树。

　　祖先节点（ancestor）：从根到该节点所经分支上的所有节点

　　后代节点（descendant）：以某节点为根的子树中任一节点都称为该节点的后代节点。

　　森林（forest）：森林是；两颗或两颗以上互不相交的树的集合，删去一棵树的根，就得到一个森林。

　　树的基本操作

　　如果需要实现一棵树，程序不仅要以合适的方式保存该树的所有节点，还要记录节点与节点之间的父子关系。接下来，还应该为树实现如下基本操作。

　　初始化：通常是一个构造器，用于创建一棵空树，或者以指定节点为根来创建树。

　　为指定节点添加子节点

　　判断树是否为空

　　返回根节点

　　返回指定节点（非根节点）的父节点

　　返回指定节点（非叶子节点）的所有子节点

　　返回指定节点（非叶子节点）的第i个子节点

　　返回该树的深度

　　返回指定节点的位置

　　为了实现树这种数据结构，程序必须能记录节点与节点之间的父子关系，为此有一下两种选择：

　　父节点表示法：每个子节点都记录它的父节点。

　　子节点链表示法：每个非叶子节点通过一个链表来记录它所有的子节点。

　　父节点表示法

　　通过前面的介绍可以发现，树中除根节点之外的每个节点都有一个父节点。为了记录树中节点与节点之间的父子关系，可以为每个节点增加一个parent域，用以记录该节点的父节点。用如下图和如下表来表示

　　tree_show.PNG

　　tree_show.PNG

　　数组索引 data parent

　　0 A -1

　　1 B 0

　　2 C 0

　　3 D 0

　　4 E 1

　　5 F 3

　　6 G 3

　　7 H 4

　　8 I 4

　　9 J 4

　　10 K 6

　　… … …

　　由此可见，只要用一个节点数组来保存树里的每个节点，并让每个节点记录其父节点在数组中的索引即可。

　　子节点链表表示法

　　父节点表示法的思想是让每个节点“记住”它的父节点的索引，父节点表示法是从子节点着手的;反过来，还有另外一种方式：让父节点“记住”它的所有子节点口在这种方式下，由于每个父节点需要记住多个子节点，因此必须采用“子节点链”表示法。示意图如下：

　　tree_linked.PNG

　　tree_linked.PNG

　　二叉树

　　二叉树的定义和基本概念

　　二叉树指的是每个节点最多只能有两个子树的有序树。通常左边的子树被称作“左子树”（left subtree），右边的子树被称为“右子树”（right subtree）。由此可见，二叉树依然是树，它是一种特殊的树。

　　二叉树的每个节点最多只有来两颗树（不存在度大于2的节点），二叉树的子树有左，右之分，次序不能颠倒。

　　树和二叉树的两个重要区别如下：

　　树中节点的最大度数没有限制，而二叉树节点的最大度数为2，也就是说，二叉树是节点的最大度数为2的树。

　　无序树的节点无左右之分，而二叉树的节点有左，右之分，也就是说，二叉树是有序树。

　　一棵深度为k的二叉树，如果它包含了

　　2^k-1

　　个节点，就把这棵二叉树称为满二叉树。满二叉树的特点是。每一层上的节点数都是最大节点数，即各层节点数分别为1，2，4，8， 16，…，满二叉树下图所示：

　　two_tree.PNG

　　two_tree.PNG

　　一颗有n个节点的二叉树，按满二叉树的编号方式对它进行编号，若树中所有节点和满二叉树1~n编号完全一致，则称该树为完全二叉树。也就是说，如果一颗二叉树除最后一层外，其余层的所有节点都是满的，并且最后一层或者是满的，或者仅在右边缺少若干连续的节点，则此二叉树就是完全二叉树。

　　综上所述，二叉树大致有如下几个性质：

　　二叉树第i层上的节点数据至多为2的i-1次方

　　深度为k的二叉树至多有2的k次方-1个节点。满二叉树的每层节点的数量依次为1， 2， 4，8，…，因此深度为k的满二叉树包含的节点数为公比为2的等比数列的前k项总和，

　　即2的k次方一1。

　　在任何一棵二叉树中，如果其叶子节点的数量为n0，度为2的子节点数量为n2，则

　　n0=n2 + 1。这是因为：如果为任意叶子节点增加一个子节点，则原有叶子节点变成非叶子节点，新增节点变成叶子节点，上述等式不变;如果为任意叶子节点增加两个子节点，则原有叶子节点变成度为2的非叶子lto点，新增的两个节点变成叶子节点，上述等式依然不变。

　　具有n个节点的完全二叉树的深度为log2（n+1）

　　对于一颗具有n个节点的完全二叉树的节点按层自左向右编号，则对任一编号为i（n》=i》=1）的节点有下列性质。

　　当i==1时，节点i是二叉树的根；若i》1，则节点的父节点是i/2