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第二章 一元微积分
王伟
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研究一个客观事物，首先要回答描述这个客观事物有哪些变量？人们常说对客观事物进行研究，实际上就是研究这些客观事物中的变量及其变化规律。变化规律常用函数来表示，最简单就是一元函数 y f （x） ，一个自变量 x 与一个因变量 y 之间的函数。它是高等数学研究的基本对象。给定了一元函数 y f （x） ，怎样分析它的特性？是否连续、增长趋势及快慢、有无极值点、函数曲线围成的面积等等？逐一计算函数值，把函数图形画出来，可以大致了解函数的这些特性，这是初等数学能做到的。但是，怎样严密准确地描述这些特性？初等数学可以做到否？是何样的数学工具能做到？这是本章的主要内容。 2.1 极限客观事物的变化趋势是工程实际中最关心的问题。如果函数 y f （x） 在整个实数域上都有定义，则自变量 x 只要取“有限”数，总能根据函数式求出因变量 y 的值。因此，函数在有限区间的变化特性，可以通过求出每一点的函数值来研究。但是，如果自变量趋于无穷 x ，因变量 y 会怎样？在那个不可企及的遥远之处，函数是个怎样的表现？能否从数学意义上严密准确地刻画？这是一个“有点玄”的问题。另外，即便自变量是在有限区间取值，因变量的取值也可能会进入“无穷”的领域，如当 x 1时， 1 1 y x 。因此，无论是自变量还是因变量，当它们取值进入“无穷” 领域时，初等数学就难以从心了，因为初等数学研究的是“有限”数及其运算。再有，即便是“有限”数及其运算，但需要进行“无穷”次的话，初等数学也无力回答它最终结果。上述新问题必然要催生新概念，“极限”概念便应运而生。它是初等数学的方法与结论在高等数学的自然延伸。所以，怎样用“有穷”的初等数学去解构“无穷”带来的问题，是高等数学与初等数学的分水岭，是学习高等数学时刻要警醒的，弄清楚这一点才不会感觉高等数学是“悬浮”的。
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