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CCITT CRC-16计算原理及应用
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2017-10-27
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CRC的全称为Cyclic Redundancy Check，中文名称为循环冗余校验。它是一类重要的线性分组码，编码和解码方法简单，检错和纠错能力强，在通信领域广泛地用于实现差错控制。实际上，除 数据通信外，CRC在其它很多领域也是大有用武之地的。例如我们读软盘上的文件，以及解压一个ZIP文件时，偶尔会碰到“Bad CRC”错误，由此它在数据存储方面的应用可略见一斑。
差错控制理论是在代数理论基础上建立起来的。这里我们着眼于介绍CRC的算法与实现，对原理只能捎带说明一下。若需要进一步了解线性码、分组码、循环码、纠错编码等方面的原理，可以阅读有关资料。
利用CRC进行检错的过程可简单描述为：在发送端根据要传送的k位二进制码序列，以一定的规则产生一个校验用的r位监督 码（CRC码），附在原始信息后边，构成一个新的二进制码序列数共k+r位，然后发送出去。在接收端，根据信息码和CRC码之间所遵循的规则进行检验，以 确定传送中是否出错。这个规则，在差错控制理论中称为“生成多项式”。
1 代数学的一般性算法
在代数编码理论中，将一个码组表示为一个多项式，码组中各码元当作多项式的系数。例如 1100101 表示为
1·x6+1·x5+0·x4+0·x3+1·x2+0·x+1，即 x6+x5+x2+1。
设编码前的原始信息多项式为P（x），P（x）的最高幂次加1等于k；生成多项式为G（x），G（x）的最高幂次等于r；CRC多项式为R（x）；编码后的带CRC的信息多项式为T（x）。
发送方编码方法：将P（x）乘以xr（即对应的二进制码序列左移r位），再除以G（x），所得余式即为R（x）。用公式表示为
T（x）=xrP（x）+R（x）
接收方解码方法：将T（x）除以G（x），如果余数为0，则说明传输中无错误发生，否则说明传输有误。
举例来说，设信息码为1100，生成多项式为1011，即P（x）=x3+x2，G（x）=x3+x+1，计算CRC的过程为
xrP（x） x3（x3+x2） x6+x5 x
-------- = ---------- = -------- = （x3+x2+x） + --------
G（x） x3+x+1 x3+x+1 x3+x+1
即 R（x）=x。注意到G（x）最高幂次r=3，得出CRC为010。
如果用竖式除法，计算过程为
1110
-------
1011 /1100000 （1100左移3位）
1011
----
1110
1011
-----
1010
1011
-----
0010
0000
----
010
因此，T（x）=（x6+x5）+（x）=x6+x5+x， 即 1100000+010=1100010
如果传输无误，
T（x） x6+x5+x
------ = --------- = x3+x2+x，
G（x） x3+x+1
无余式。回头看一下上面的竖式除法，如果被除数是1100010，显然在商第三个1时，就能除尽。
上述推算过程，有助于我们理解CRC的概念。但直接编程来实现上面的算法，不仅繁琐，效率也不高。实际上在工程中不会直接这样去计算和验证CRC。
下表中列出了一些见于标准的CRC资料：
名称生成多项式简记式*应用举例
CRC-4x4+x+1ITU G.704
CRC-12x12+x11+x3+x+1
CRC-16x16+x12+x2+11005IBM SDLC
CRC-ITU**x16+x12+x5+11021ISO HDLC， ITU X.25， V.34/V.41/V.42， PPP-FCS
CRC-32x32+x26+x23+.。.+x2+x+104C11DB7ZIP， RAR， IEEE 802 LAN/FDDI， IEEE 1394， PPP-FCS
CRC-32cx32+x28+x27+.。.+x8+x6+11EDC6F41SCTP
* 生成多项式的最高幂次项系数是固定的1，故在简记式中，将最高的1统一去掉了，
如04C11DB7实际上是104C11DB7。
** 前称CRC-CCITT。ITU的前身是CCITT。
2.CRC算法的实现
---------------
要用程序实现CRC算法，考虑对第2节的长除法做一下变换，依然是M = 11100110，G = 1011，
其系数r为3。
11001100
------------------------
1011 ）11100110000
1011.。..。..
----。..。..。
1010.。..。.
1011.。..。.
----。..。..
1110.。.
1011.。.
------。..
1010.。
1011.。
-------
100 《---校验码
差错控制理论是在代数理论基础上建立起来的。这里我们着眼于介绍CRC的算法与实现，对原理只能捎带说明一下。若需要进一步了解线性码、分组码、循环码、纠错编码等方面的原理，可以阅读有关资料。
利用CRC进行检错的过程可简单描述为：在发送端根据要传送的k位二进制码序列，以一定的规则产生一个校验用的r位监督 码（CRC码），附在原始信息后边，构成一个新的二进制码序列数共k+r位，然后发送出去。在接收端，根据信息码和CRC码之间所遵循的规则进行检验，以 确定传送中是否出错。这个规则，在差错控制理论中称为“生成多项式”。
1 代数学的一般性算法
在代数编码理论中，将一个码组表示为一个多项式，码组中各码元当作多项式的系数。例如 1100101 表示为
1·x6+1·x5+0·x4+0·x3+1·x2+0·x+1，即 x6+x5+x2+1。
设编码前的原始信息多项式为P（x），P（x）的最高幂次加1等于k；生成多项式为G（x），G（x）的最高幂次等于r；CRC多项式为R（x）；编码后的带CRC的信息多项式为T（x）。
发送方编码方法：将P（x）乘以xr（即对应的二进制码序列左移r位），再除以G（x），所得余式即为R（x）。用公式表示为
T（x）=xrP（x）+R（x）
接收方解码方法：将T（x）除以G（x），如果余数为0，则说明传输中无错误发生，否则说明传输有误。
举例来说，设信息码为1100，生成多项式为1011，即P（x）=x3+x2，G（x）=x3+x+1，计算CRC的过程为
xrP（x） x3（x3+x2） x6+x5 x
-------- = ---------- = -------- = （x3+x2+x） + --------
G（x） x3+x+1 x3+x+1 x3+x+1
即 R（x）=x。注意到G（x）最高幂次r=3，得出CRC为010。
如果用竖式除法，计算过程为
1110
-------
1011 /1100000 （1100左移3位）
1011
----
1110
1011
-----
1010
1011
-----
0010
0000
----
010
因此，T（x）=（x6+x5）+（x）=x6+x5+x， 即 1100000+010=1100010
如果传输无误，
T（x） x6+x5+x
------ = --------- = x3+x2+x，
G（x） x3+x+1
无余式。回头看一下上面的竖式除法，如果被除数是1100010，显然在商第三个1时，就能除尽。
上述推算过程，有助于我们理解CRC的概念。但直接编程来实现上面的算法，不仅繁琐，效率也不高。实际上在工程中不会直接这样去计算和验证CRC。
下表中列出了一些见于标准的CRC资料：
名称生成多项式简记式*应用举例
CRC-4x4+x+1ITU G.704
CRC-12x12+x11+x3+x+1
CRC-16x16+x12+x2+11005IBM SDLC
CRC-ITU**x16+x12+x5+11021ISO HDLC， ITU X.25， V.34/V.41/V.42， PPP-FCS
CRC-32x32+x26+x23+.。.+x2+x+104C11DB7ZIP， RAR， IEEE 802 LAN/FDDI， IEEE 1394， PPP-FCS
CRC-32cx32+x28+x27+.。.+x8+x6+11EDC6F41SCTP
* 生成多项式的最高幂次项系数是固定的1，故在简记式中，将最高的1统一去掉了，
如04C11DB7实际上是104C11DB7。
** 前称CRC-CCITT。ITU的前身是CCITT。
2.CRC算法的实现
---------------
要用程序实现CRC算法，考虑对第2节的长除法做一下变换，依然是M = 11100110，G = 1011，
其系数r为3。
11001100
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1011 ）11100110000
1011.。..。..
----。..。..。
1010.。..。.
1011.。..。.
----。..。..
1110.。.
1011.。.
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1010.。
1011.。
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100 《---校验码
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