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卡尔曼滤波器原理
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2008-07-14
cp-②
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离散卡尔曼滤波器
1960年，卡尔曼发表了他著名的用递归方法解决离散数据线性滤波问
题的论文[Kalman60] 。从那以后，得益于数字计算技术的进步，卡尔曼
滤波器已成为推广研究和应用的主题，尤其是在自主或协助导航领域。
[Maybeck79] 的第一章给出了一个非常“友好”的介绍，更全面的讨论可以
参考[Sorenson70] ，后者还包含了一些非常有趣的历史故事。更广泛的参
考包括[Gelb74, Grewal93, Maybeck79, Lewis86, Brown92, Jacobs93] 。
被估计的过程信号
卡尔曼滤波器用于估计离散时间过程的状态变量x 2间过程由以下离散随机差分方程描述：
xk = Axk−1 + Buk−1 + wk−1, (1.1)
定义观测变量z 2zk = Hxk + vk. (1.2)
随机信号wk 和vk 分别表示过程激励噪声1和观测噪声。假设它们为相
互独立，正态分布的白色噪声：
p(w) » N(0,Q), (1.3)
p(v) » N(0,R). (1.4)
实际系统中，过程激励噪声协方差矩阵Q 和观测噪声协方差矩阵R 可
能会随每次迭代计算而变化。但在这儿我们假设它们是常数。
当控制函数uk−1 或过程激励噪声wk−1 为零时，差分方程1.1中的n £ n
阶增益矩阵A 将上一时刻k ¡1 的状态线性映射到当前时刻k 的状态。实际
中A 可能随时间变化，但在这儿假设为常数。n £ l 阶矩阵B 代表可选的控
制输入u 2对测量变量zk 的增益。实际中H 可能随时间变化，但在这儿假设为常数。
1960年，卡尔曼发表了他著名的用递归方法解决离散数据线性滤波问
题的论文[Kalman60] 。从那以后，得益于数字计算技术的进步，卡尔曼
滤波器已成为推广研究和应用的主题，尤其是在自主或协助导航领域。
[Maybeck79] 的第一章给出了一个非常“友好”的介绍，更全面的讨论可以
参考[Sorenson70] ，后者还包含了一些非常有趣的历史故事。更广泛的参
考包括[Gelb74, Grewal93, Maybeck79, Lewis86, Brown92, Jacobs93] 。
被估计的过程信号
卡尔曼滤波器用于估计离散时间过程的状态变量x 2
xk = Axk−1 + Buk−1 + wk−1, (1.1)
定义观测变量z 2
随机信号wk 和vk 分别表示过程激励噪声1和观测噪声。假设它们为相
互独立，正态分布的白色噪声：
p(w) » N(0,Q), (1.3)
p(v) » N(0,R). (1.4)
实际系统中，过程激励噪声协方差矩阵Q 和观测噪声协方差矩阵R 可
能会随每次迭代计算而变化。但在这儿我们假设它们是常数。
当控制函数uk−1 或过程激励噪声wk−1 为零时，差分方程1.1中的n £ n
阶增益矩阵A 将上一时刻k ¡1 的状态线性映射到当前时刻k 的状态。实际
中A 可能随时间变化，但在这儿假设为常数。n £ l 阶矩阵B 代表可选的控
制输入u 2
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